近似計算による積分評価

PIRにより区間内では修理が起きないため、各区間は独立に評価できます。検査周期を一定とし、区間を $[kT_\text{service},(k+1)T_\text{service}]$ とします。区間内時刻を $u:=t-kT_\text{service}$ とおきます。

1059の結果より $$ \int_{kT_\text{service}}^{(k+1)T_\text{service}} f(t)\,dt =\int_0^{T_\text{service}} f_k(u)\,du \tag{1061.1} $$ です。区間内では到達密度は $$ f_k(u)=R(\tau_k+u)\lambda_v^{(k)}(u) \tag{1061.2} $$ と書けます。VSGはまれ事象であるため、区間内では稼働確率はほぼ1と近似でき、 $$ R(\tau_k+u)\approx 1 \tag{1061.3} $$ と置きます。すると $$ f_k(u)\approx \lambda_v^{(k)}(u) \tag{1061.4} $$ となります。

危険遷移の種類を $\mathcal J$ とし、区間kにおける中間状態集合 $D_j$ に対して $$ P_j^{(k)}(u):=\Pr\{\eta_{\tau_k+u}\in D_j\} \tag{1061.5} $$ と定義すれば、 $$ \lambda_v^{(k)}(u)=\sum_{j\in\mathcal J}\lambda_j P_j^{(k)}(u) \tag{1061.6} $$ となるため、 $$ \int_{kT_\text{service}}^{(k+1)T_\text{service}} f(t)\,dt \approx \sum_{j\in\mathcal J}\lambda_j\int_0^{T_\text{service}} P_j^{(k)}(u)\,du \tag{1061.7} $$ となります。

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