同じ rare-event 近似の下での PMHF 式と PFH 式

前稿では、同じ IF と SM から成るサブシステムアーキテクチャの下で、PMHF 側の VSG 初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の VSG 発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ を厳密に導出しました。その結果、両者の厳密差は、PMHF 側にだけ「まだ一度も VSG が起きていない」という条件が付くことに由来することが分かりました。

前二稿で見たとおり、その差は典型条件では実務上ほぼ無視できます。そこで本稿では、前稿で得た厳密式に同じ rare-event 近似を適用し、PMHF 式と PFH 式が同じ IF/SM モデルの下でどのように同じ二次故障率式へ帰着するかを示します。

前稿の結果をそのまま用いれば、PMHF 側の VSG 初回到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t)=\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \eta_t^\text{SM}\in P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1074.1} $$

であり、PFH 側の VSG 発生頻度は

$$ w_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,SPF}}\\ +\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\lambda_{V,\text{IF,DPF}} \tag{1074.2} $$

でした。

ここで、VSG 自体が希少事象であることから、

$$ \Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ A\}\approx\Pr\{A\} \tag{1074.3} $$

と近似できます。したがって、(1074.1) の両項に付いている $\Pr\{\sigma_\text{VSG}>t,\ \cdots\}$ は、それぞれ対応する無条件確率に置き換えられます。

さらに、IF 側故障についても小確率近似 $\lambda_\text{IF}t\ll1$ を置けば、

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}=R_\text{IF}(t)=e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx1 \tag{1074.4} $$

です。

また、IF 側故障が希少であるため、SM の潜在故障と IF の稼働の同時確率は、SM の時点不稼働確率 $U_\text{SM}(t)$ を用いて

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in M_\text{IF}\}\approx U_\text{SM}(t) \tag{1074.5} $$

と近似できます。

したがって、(1074.1) は

$$ f_\text{VSG}(t)\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\lambda_{V,\text{IF,DPF}}U_\text{SM}(t) \tag{1074.6} $$

となり、同様に (1074.2) も

$$ w_\text{VSG}(t)\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\lambda_{V,\text{IF,DPF}}U_\text{SM}(t) \tag{1074.7} $$

となります。

ここに、前稿までは厳密には異なっていた PMHF 側の初回到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ と PFH 側の発生頻度 $w_\text{VSG}(t)$ が、同じ rare-event 近似の下で初めて一致することが現れます。すなわち、

$$ f_\text{VSG}(t)\approx w_\text{VSG}(t) \tag{1074.8} $$

です。

よって PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\frac{\lambda_{V,\text{IF,DPF}}}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \tag{1074.9} $$

であり、PFH は

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{VSG}(t)\,dt\approx\lambda_{V,\text{IF,SPF}}+\frac{\lambda_{V,\text{IF,DPF}}}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt \tag{1074.10} $$

です。

ここで、SM エレメントの時点不稼働確率の周期平均については、2025 年の既報から

$$ \frac{1}{T}\int_0^T U_\text{SM}(t)\,dt\approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1074.11} $$

を用います。

また、IF 側の率分解は

$$ \lambda_{V,\text{IF,SPF}}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}, \qquad \lambda_{V,\text{IF,DPF}}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1074.12} $$

です。

(1074.11) と (1074.12) を (1074.9) および (1074.10) に代入すると、

$$ \begin{eqnarray} \mathrm{PMHF}(T)\approx\mathrm{PFH}(0,T) &\approx& (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} \\ &&+ \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \end{eqnarray} \tag{1074.13} $$

を得ます。

以上より、同じ IF/SM サブシステムアーキテクチャを用い、同じ rare-event 近似を置けば、PMHF と PFH は同じ二次故障率式に帰着します。前稿までで示した厳密差は、ここで初めて近似により落とされます。すなわち、両者の見かけ上の差は定義そのものの差ではなく、どのモデルを明示し、どの近似を採るかに依存して現れることが分かります。

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