PMHF の導出（小確率近似に基づく簡潔な導出）

前稿では、非冗長系の VSG 到達密度について

$$ f_\text{VSG}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1059.1} $$

を得ました。本稿では、この近似式から PMHF の最終式を導きます。以下、車両寿命を $T:=T_\text{lifetime}$ とし、簡単のため $T=n\tau$ を仮定します。

PMHF の定義より

$$ \mathrm{PMHF} =\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1059.2} $$

となります。

前稿で得た SM エレメントの point-unavailability は

$$ Q_\text{SM}(t) =(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1059.3} $$

でした。したがって

$$ \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt =\frac{1-K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(t)\,dt+\frac{K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt \tag{1059.4} $$

です。

ここで $T=n\tau$ とすると、第2項は周期ごとに同じ積分の繰り返しなので

$$ \int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\tau}^{(k+1)\tau}F_\text{SM}(t-k\tau)\,dt =n\int_0^\tau F_\text{SM}(u)\,du \tag{1059.5} $$

と変形できます。

SM 故障時間が指数分布に従い、かつ微小確率条件$\lambda_\text{SM}t\ll 1$の下では

$$ F_\text{SM}(t)=1-e^{-\lambda_\text{SM}t}\approx\lambda_\text{SM}t \tag{1059.6} $$

と近似できます。したがって (1059.4), (1059.5) より

$$ \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \approx \frac{1-K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T \lambda_\text{SM}t\,dt+\frac{K_\text{SM,DPF}}{T}n\int_0^\tau \lambda_\text{SM}u\,du\\ =\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1059.7} $$

となります。

これを (1059.2) に代入すると

$$ \mathrm{PMHF} \approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1059.8} $$

です。

さらに

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1059.9} $$

を代入すると、最終的に

$$ \mathrm{PMHF} \approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1059.10} $$

を得ます。

ここで第1項は IF の residual fault に由来する SPF 項であり、第2項は SM の潜在故障確率と IF の multiple-point 側故障率の積として現れる DPF 項です。したがって、PMHF は SPF 項と DPF 項の和として理解できます。

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サブシステム（VSG吸収）とSPF/DPF密度の定式化

前稿で SMエレメントの point-unavailability $Q_\text{SM}(t)$ を得たので、本稿ではサブシステムレベルへ進み、VSG を吸収集合として到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を定式化します。ここでは非冗長系を仮定します。

VSG に対応するサブシステム過程を $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M_\text{sub}$、吸収集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とします。状態確率行ベクトルと生成行列を

$$ \mathbf p^\text{sub}(t) =\bigl[\mathbf p_M^\text{sub}(t)\ \mathbf p_P^\text{sub}(t)\bigr], \qquad \mathbf Q^\text{sub} =\begin{bmatrix} \mathbf Q_{MM} & \mathbf Q_{MP}\ \mathbf 0 & \mathbf 0 \end{bmatrix} \tag{1058.1} $$

と表します。前進方程式 $d\mathbf p^\text{sub}(t)/dt=\mathbf p^\text{sub}(t)\mathbf Q^\text{sub}$ より、VSG 到達確率は

$$ F_\text{VSG}(t) :=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} =\mathbf p_P^\text{sub}(t)\mathbf 1 =1-\mathbf p_M^\text{sub}(t)\mathbf 1 \tag{1058.2} $$

と書けます。

したがって、その到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t) :=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) =\mathbf p_M^\text{sub}(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1 \tag{1058.3} $$

です。すなわち、$f_\text{VSG}(t)$ は稼働集合から VSG 吸収集合への総流出率です。

次に、IF に対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、その危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF} =\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1058.4} $$

と分割します。

この分割は、$K_\text{IF,RF}$ を母集団分割割合（決定論的解釈）として用いることに対応します。IF の危険故障率を $\lambda_\text{IF}$ とすると

$$ \lambda_\text{IF,SPF} =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}, \qquad \lambda_\text{IF,DPF} =K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1058.5} $$

と置けます。

このとき、SPF による VSG 到達密度は

$$ f_\text{SPF}(t) =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF} \tag{1058.6} $$

です。

一方、DPF は「SM が潜在状態にあり、かつ IF が稼働集合にある」条件のもとで生じるので、前稿で得た $Q_\text{SM}(t)$ を用いて

$$ f_\text{DPF}(t) =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.7} $$

と書けます。

希少事象近似の下では

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx 1 \tag{1058.8} $$

とみなせるので、

$$ f_\text{VSG}(t) \approx f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) \approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.9} $$

となります。したがって、VSG 到達密度の時間依存は DPF 項を通じて $Q_\text{SM}(t)$ により支配されます。

車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、PMHF は

$$ \mathrm{PMHF} =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1058.10} $$

で与えられます。次稿では、前稿の $Q_\text{SM}(t)$ を (1058.10) に代入し、PMHF の閉形式を導きます。

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PMHF 最終式に現れる近似の位置

前稿では PMHF の最終式を得ました。本稿では、その式がどの仮定と近似の上に立っているかを整理します。ここで、VSG 吸収、非冗長系、決定論的 $K$、PIR 周期一定はモデル仮定であり、近似ではありません。近似として本質的なのは、IF 側の希少事象近似と、SM 側の小確率近似です。

VSG 到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1060.1} $$

と定義すると、PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}F_\text{VSG}(T)=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1060.2} $$

です。

前稿の SPF 項と DPF 項の分解より、

$$ f_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF}+\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1060.3} $$

となります。

ここで最初の近似は、かつ微小確率条件$\lambda_\text{SM}t\ll 1$の下でIF 側がほとんど常に稼働集合にあるとみなす

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}=R_\text{IF}(t)=e^{-\lambda_\text{IF}t}\approx 1-\lambda_\text{IF}t\approx 1 \tag{1060.4} $$

です。これにより

$$ f_\text{VSG}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1060.5} $$

を得ます。

一方、SM 側の point-unavailability は前稿より

$$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1060.6} $$

です。ここで $u=t-\tau_k$ は PIR 区間内時刻です。

次の近似は、SM 故障時間が指数分布に従い、かつ微小確率条件$\lambda_\text{SM}t\ll 1$の下で

$$ F_\text{SM}(t)=1-e^{-\lambda_\text{SM}t}\approx\lambda_\text{SM}t \tag{1060.7} $$

となるため、これにより

$$ Q_\text{SM}(t)\approx (1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}t+K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}u \tag{1060.8} $$

となります。

さらに $T=n\tau$ として寿命平均を取ると

$$ \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt\approx \frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.9} $$

です。したがって、前稿で定義した $\lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ および $\lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}$ を用いれば、

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.10} $$

を得ます。

重要なのは、PMHF が最初から定数なのではないということです。時間依存性は $Q_\text{SM}(t)$ の中に残っており、最終的に寿命平均を取ることで定数化されます。したがって、PMHF の最終式は、VSG 吸収というモデル仮定の上に、IF 側の希少事象近似と SM 側の小確率近似を順に加えて得られるものです。

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生成行列に基づく SPF/DPF の導出（非冗長，記号状態版）

前稿までで、$Q_\text{SM}(t)$ を用いた VSG 到達密度の導出を終えました。本稿では、同じ結果が生成行列からも得られることを示します。ここでは状態を数値ではなく意味を持つ記号で表します。

区間内（PIR による回復を含まない時間区間）では、状態順序を

$$ \mathcal S=\bigl(\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D,\mathrm{ABS}_\text{SPF},\mathrm{ABS}_\text{DPF}\bigr) \tag{1061.1} $$

とします。ここで $\mathrm{OPR}$ は通常稼働状態、$\mathrm{LAT}_U$ は未検出の潜在状態、$\mathrm{LAT}_D$ は検出対象の潜在状態、$\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ はそれぞれ SPF と DPF に対応する吸収状態です。

IF 側および SM 側の率分解を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF}=\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1061.2} $$

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\\ \lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1061.3} $$

とします。

各状態の確率を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p_\text{OPR}(t):=\Pr\{\eta_t=\mathrm{OPR}\},\\ p_{\mathrm{LAT}_U}(t):=\Pr\{\eta_t=\mathrm{LAT}_U\},\\ p_{\mathrm{LAT}_D}(t):=\Pr\{\eta_t=\mathrm{LAT}_D\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1061.4} $$

と書きます。

この順序に対応する区間内生成行列 $Q$ は

$$ Q=\left(\matrix{ -(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr 0 & -\lambda_\text{IF} & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & -\lambda_\text{IF} & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\right) \tag{1061.5} $$

です。

稼働集合と吸収集合を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathcal M={\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D},\\ \mathcal P_\text{SPF}={\mathrm{ABS}_\text{SPF}},\\ \mathcal P_\text{DPF}={\mathrm{ABS}_\text{DPF}} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1061.6} $$

とします。このとき、一般に吸収集合 $\mathcal P_X$ への到達密度は

$$ f_X(t)=\sum_{s\in\mathcal M}p_s(t)\sum_{v\in\mathcal P_X}q_{sv}, \qquad X=\text{SPF},\text{DPF},\text{VSG} \tag{1061.7} $$

で与えられます。

まず SPF 吸収状態への流出率は、$\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D$ のいずれからも $\lambda_\text{IF,SPF}$ なので

$$ f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \tag{1061.8} $$

です。

次に DPF 吸収状態への流出率は、$\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D$ からのみ $\lambda_\text{IF,DPF}$ なので

$$ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \tag{1061.9} $$

となります。

したがって VSG 到達密度は

$$ \begin{eqnarray} f_\text{VSG}(t)&=&f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\\ &=&\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr)+\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \tag{1061.10} \end{eqnarray} $$

です。

ここで全確率の保存より

$$ p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t) =1-F_\text{VSG}(t)=e^{-\lambda_\text{VSG}t}\approx 1-\lambda_\text{VSG}t\approx 1 \tag{1061.11} $$

です。また、$p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)$ は「SM が潜在故障状態にあり、かつ IF がまだ稼働している」確率であるから、

$$ p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t) =\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM},\ \eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \approx Q_\text{SM}(t) \tag{1061.12} $$

と近似できるため

$$ f_\text{VSG}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1061.13} $$

を得ます。これは前稿までの導出と一致します。したがって、PMHF の SPF 項および DPF 項は、生成行列に基づく CTMC からも同じ形で導かれます。

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PFH の定式化（修理系トップ事象と計数過程）

前稿までは、VSG を吸収集合とするサブシステムに対して PMHF を導きました。本稿からは PFH 側へ移り、repairable system における dangerous failure の頻度を定式化します。PFH 側では、危険状態に入った後も proof test や修理により稼働状態へ復帰し得るので、トップ事象集合は一般には吸収集合ではありません。

サブシステム過程を $(\eta_t^\text{PFH})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M$、危険状態集合を $\mathcal P_\text{DF}$ とします。状態確率行ベクトルと生成行列を

$$ \mathbf p^\text{PFH}(t) =\bigl[\mathbf p_M(t)\ \mathbf p_P(t)\bigr], \qquad \mathbf Q^\text{PFH} =\left(\matrix{ \mathbf Q_{MM} & \mathbf Q_{MP} \cr \mathbf Q_{PM} & \mathbf Q_{PP} }\right) \tag{1062.1} $$

と表します。ここで repairable system では、一般に $\mathbf Q_{PM}\neq 0$ です。

危険状態の point-unavailability を

$$ Q_\text{DF}(t) :=\Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal P_\text{DF}\} =\mathbf p_P(t)\mathbf 1 \tag{1062.2} $$

と定義します。

一方、稼働集合から危険状態集合への条件付き遷移率、すなわち Vesely 故障率は

$$ \lambda_V^\text{PFH}(t) :=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{PFH}\in\mathcal P_\text{DF}\mid\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}}{dt} =\frac{\mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1}{\mathbf p_M(t)\mathbf 1} \tag{1062.3} $$

です。

したがって、時刻 $t$ における危険状態への総流入頻度は

$$ w_\text{DF}(t) :=\mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1 =\Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}\lambda_V^\text{PFH}(t) \tag{1062.4} $$

と書けます。これは「その時刻に稼働集合にいる確率」と「その条件下で危険状態へ移る率」の積です。

他方、$Q_\text{DF}(t)$ の時間変化は、危険状態への流入だけではなく、危険状態からの修理復帰にも依存します。実際、

$$ \frac{d}{dt}Q_\text{DF}(t) =\mathbf p_M(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1-\mathbf p_P(t)\mathbf Q_{PM}\mathbf 1 \tag{1062.5} $$

です。第1項が危険状態への流入、第2項が危険状態から稼働集合への流出です。

ここで、危険状態集合への進入回数を数える計数過程を $N_\text{DF}(t)$ とし、その平均を

$$ W_\text{DF}(t):=E\{N_\text{DF}(t)\} \tag{1062.6} $$

と書きます。このとき

$$ \frac{d}{dt}W_\text{DF}(t)=w_\text{DF}(t) \tag{1062.7} $$

です。

したがって、区間 $[0,T]$ における平均 dangerous failure frequency は

$$ \mathrm{PFH}(0,T) :=\frac{1}{T}W_\text{DF}(T) =\frac{1}{T}\int_0^T w_\text{DF}(t)\,dt \tag{1062.8} $$

と定義できます。

希少事象近似の下で

$$ \Pr\{\eta_t^\text{PFH}\in\mathcal M\}\approx 1 \tag{1062.9} $$

とみなせるとき、

$$ w_\text{DF}(t)\approx \lambda_V^\text{PFH}(t) \tag{1062.10} $$

となります。したがって PFH は、Vesely 故障率の時間平均としても読めます。

ここで重要なのは、repairable system では一般に (1062.5) に修理復帰項が残るため、$Q_\text{DF}(t)$ の時間微分は危険状態への流入頻度 $w_\text{DF}(t)$ とは一致しない、という点です。次稿では、この repairable/recurrent な PFH と、吸収型 first-passage quantity としての PMHF とを、同じ確率論の枠で比較します。

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PFH と PMHF の exact quantity の差

前稿では、repairable top event に対する PFH を

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}E\{N_\text{DF}(T)\} \tag{1063.1} $$

と定式化しました。ここで $N_\text{DF}(T)$ は、区間 $[0,T]$ における dangerous failure の発生回数です。

同じ top event に対して、その first dangerous failure time を

$$ \sigma_\text{DF}:=\inf\{t\ge0\mid N_\text{DF}(t)\ge1\} \tag{1063.2} $$

と定義します。

このとき、

$$ \{\sigma_\text{DF}\le T\}=\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1063.3} $$

が成り立ちます。したがって、first-passage quantity の lifetime average は

$$ \frac{1}{T}\Pr\{\sigma_\text{DF}\le T\} =\frac{1}{T}\Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1063.4} $$

です。VSG を吸収集合として扱う PMHF は、この形の quantity に対応します。

一方、PFH に現れるのは期待回数なので、

$$ E\{N_\text{DF}(T)\} =\sum_{n\ge1}n\,\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1063.5} $$

です。

これに対して、first-passage probability は

$$ \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} =\sum_{n\ge1}\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1063.6} $$

です。したがって両者の差は

$$ E\{N_\text{DF}(T)\}-\Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} =\sum_{n\ge2}(n-1)\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1063.7} $$

となります。

この式が示しているのは、PFH と PMHF 型 quantity の exact な差が、区間 $[0,T]$ における 2 回目以降の dangerous failure の寄与そのものである、ということです。repairable system では top event 発生後も修理復帰し得るため、この項が一般には消えません。

これに対して、寿命区間 $[0,T]$ において dangerous failure は高々 1 回しか起きないという rare-event 近似を

$$ \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge2\}\approx0 \tag{1063.8} $$

と置けば、

$$ E\{N_\text{DF}(T)\}\approx \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1063.9} $$

となります。したがって

$$ \mathrm{PFH}(0,T)\approx \frac{1}{T}\Pr\{\sigma_\text{DF}\le T\} \tag{1063.10} $$

です。

要するに、PFH と PMHF の違いは、exact には recurrent quantity と first-passage quantity の違いです。しかし rare-event 近似を寿命区間全体にまで拡張すると、その差は 2 回目以降の発生確率に押し込められ、1 次では見えなくなります。次稿では、このことを踏まえて、PFH と PMHF の closed form がなぜ異なる形になるのかを、平均化と近似の位置の違いとして整理します。

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PFH と PMHF の closed form が異なる理由

前稿では、rare-event 近似を寿命区間全体にまで拡張すると

$$ E\{N_\text{DF}(T)\}\approx \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1064.1} $$

となり、PFH と PMHF の exact quantity の差が 1 次では見えにくくなることを示しました。しかし、それでも PFH と PMHF の結果式は一般には同じ形にはなりません。その理由は、closed form が latent state のモデルと平均化区間に依存するからです。

PFH 側で、dangerous top event の直前にある潜在状態の point-unavailability を $Q_\text{LAT}^\text{PFH}(t)$、そこから top event を生じる最後の危険故障率を $\lambda_\text{last}$ とすると、希少事象近似の下で

$$ w_\text{DF}(t)\approx \lambda_\text{SPF}+\lambda_\text{last}Q_\text{LAT}^\text{PFH}(t) \tag{1064.2} $$

と書けます。

平均区間を $H$ とすると、PFH は

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx \lambda_\text{SPF}+\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H Q_\text{LAT}^\text{PFH}(t)\,dt \tag{1064.3} $$

です。

proof test や修理により潜在状態が区間ごとにリセットされ、しかも小確率近似の下でその蓄積が線形であるなら

$$ Q_\text{LAT}^\text{PFH}(t)\approx \lambda_\text{LAT}t \qquad (0\le t<H) \tag{1064.4} $$

なので、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx \lambda_\text{SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{last}\lambda_\text{LAT}H \tag{1064.5} $$

を得ます。

一方、前稿までで得た PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1064.6} $$

でした。さらに、決定論的 $K$ と一定 PIR の下では

$$ Q_\text{SM}(t)\approx (1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}t+K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}u \tag{1064.7} $$

なので、

$$ \mathrm{PMHF}\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1064.8} $$

となります。

ここで

$$ T_\text{exp}:=(1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau \tag{1064.9} $$

とおけば、PMHF の DPF 項は

$$ \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}T_\text{exp} \tag{1064.10} $$

と読めます。すなわち、PFH でも PMHF でも 2 次項の構造自体は「第1故障率 × 平均露出時間 × 第2故障率」です。

したがって、rare-event 近似の下では PFH と PMHF は共通して

$$ M(H)\approx \lambda_\text{SPF}+\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H Q_\text{LAT}(t)\,dt \tag{1064.11} $$

という 1 次の共通骨格を持ちます。それにもかかわらず closed form が異なるのは、PFH では latent state の平均化区間が proof test や修理の窓 $H$ により決まり、PMHF ではそれが寿命 $T$ と PIR 周期 $\tau$ の決定論的混合として現れるからです。すなわち、結果式の差は quantity の違いだけではなく、latent state をどのようにモデル化し、どの時間幅で平均化するかの違いでもあります。

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PFH の $\sum\lambda$ 式は何を捨てているか

前稿では、PFH と PMHF の closed form が異なるのは、latent state のモデルと平均化区間が異なるためであることを述べました。本稿ではさらに一歩進めて、PFH がしばしば $\sum\lambda$ の形で書かれるのは何を近似しているのかを整理します。

PFH 側で、dangerous top event の直前にある潜在状態の point-unavailability を $Q_\text{LAT}(t)$、そこから top event を生じる最後の危険故障率を $\lambda_\text{last}$、単独で top event を生じる SPF 寄与を $\lambda_\text{SPF}$ とすると、希少事象近似の下で危険事象への流入頻度は

$$ w_\text{DF}(t)\approx \lambda_\text{SPF}+\lambda_\text{last}Q_\text{LAT}(t) \tag{1065.1} $$

と書けます。

平均化区間を $H$ とすると、PFH は

$$ \mathrm{PFH}(0,H)=\frac{1}{H}\int_0^H w_\text{DF}(t)\,dt \approx \lambda_\text{SPF}+\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H Q_\text{LAT}(t)\,dt \tag{1065.2} $$

です。

ここで、もし latent state を持たず、危険事象が SPF のみから生じるなら

$$ Q_\text{LAT}(t)=0 \tag{1065.3} $$

なので、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx \lambda_\text{SPF} \tag{1065.4} $$

となります。

さらに、互いに独立な SPF 寄与が $m$ 個あり、それぞれの危険故障率を $\lambda_{\text{SPF},i}$ とすると

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx \sum_{i=1}^{m}\lambda_{\text{SPF},i} \tag{1065.5} $$

です。すなわち、PFH の $\sum\lambda$ 式は、SPF 支配の 1 次近似として現れます。

一方、latent state が存在し、その蓄積が区間内で線形に近似できるなら

$$ Q_\text{LAT}(t)\approx \lambda_\text{LAT}t \qquad (0\le t<H) \tag{1065.6} $$

なので、

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx \lambda_\text{SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{last}\lambda_\text{LAT}H \tag{1065.7} $$

を得ます。

したがって、PFH が $\sum\lambda$ の形に見えるのは、PFH という quantity が 2 次項を持たないからではなく、

$$ \frac{1}{2}\lambda_\text{last}\lambda_\text{LAT}H\ll \lambda_\text{SPF} \tag{1065.8} $$

として latent-state 由来の 2 次項を省略しているからです。

このことは、前稿までで得た PMHF の DPF 項

$$ \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1065.9} $$

と比較すると分かりやすいです。どちらも「第1故障率 × 平均露出時間 × 第2故障率」という同じ 2 次構造を持っています。違うのは、PFH ではその平均露出時間が評価窓 $H$ によって与えられ、PMHF ではそれが寿命 $T$ と PIR 周期 $\tau$ の混合として現れる点です。

要するに、PFH の $\sum\lambda$ 式は一般式ではなく、SPF 支配の簡略式です。latent state を明示すれば PFH 側にも 2 次項は現れ、そこではじめて PMHF の DPF 項と同じ数理構造が見えてきます。

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PFH と PMHF はどこまで同じと言えるか

前稿までで、PMHF は吸収型 VSG に対する lifetime average、PFH は repairable top event に対する平均 dangerous failure frequency として定式化しました。本稿では両者を並べ、どこで一致し、どこで分かれるかを整理します。

PFH 側の exact quantity は、dangerous failure の発生回数を数える計数過程 $N_\text{DF}(T)$ を用いて

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}E\{N_\text{DF}(T)\} \tag{1066.1} $$

です。

一方、同じ top event に対する first-passage quantity は、first dangerous failure time を

$$ \sigma_\text{DF}:=\inf\{t\ge0\mid N_\text{DF}(t)\ge1\} \tag{1066.2} $$

とおけば

$$ \frac{1}{T}\Pr\{\sigma_\text{DF}\le T\} =\frac{1}{T}\Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1066.3} $$

です。PMHF は、VSG を吸収集合として扱うことにより、この形の quantity に対応します。

したがって、PFH と PMHF 型 quantity の exact な差は

$$ \mathrm{PFH}(0,T)-\frac{1}{T}\Pr\{\sigma_\text{DF}\le T\} =\frac{1}{T}\sum_{n\ge2}(n-1)\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1066.4} $$

となります。すなわち、差は区間 $[0,T]$ における 2 回目以降の dangerous failure の寄与そのものです。

ここで寿命区間全体に対して rare-event 近似

$$ \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge2\}\approx0 \tag{1066.5} $$

を置けば、

$$ E\{N_\text{DF}(T)\}\approx \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1066.6} $$

となるので、1 次では PFH と PMHF 型 quantity の差は見えなくなります。

しかし、それでも closed form は一般には一致しません。その理由は、両者が同じ 1 次骨格を持ちながら、latent state のモデルと平均化区間が異なるからです。一般に、SPF 寄与を $\lambda_\text{SPF}$、latent state から top event を生じる最後の危険故障率を $\lambda_\text{last}$、latent state の point-unavailability を $Q_\text{LAT}(t)$、平均化区間を $H$ とすると、

$$ M(H)\approx \lambda_\text{SPF}+\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H Q_\text{LAT}(t)\,dt \tag{1066.7} $$

という共通骨格が得られます。

PFH 側では、proof test や修理を含む repairable latent state を $Q_\text{LAT}^\text{PFH}(t)$ と書けば

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx \lambda_\text{SPF}+\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H Q_\text{LAT}^\text{PFH}(t)\,dt \tag{1066.8} $$

です。

これに対して PMHF 側では、前稿までの結果より

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1066.9} $$

です。

したがって、rare-event 近似の下で PFH と PMHF が近づくのは事実ですが、それは exact quantity が元から同じだからではありません。同じ 1 次骨格の上で、PFH では repairable latent state を平均し、PMHF では IF-SM 構造に基づく latent state を寿命平均しているからです。すなわち、両者の結果式の違いは、frequency と probability の語の違いだけではなく、latent state をどのようにモデル化し、どの時間幅で平均化するかの違いでもあります。

なお、ここでいう IF-SM 構造は 1oo2 のような対称冗長系ではありません。IF は intended functionality、SM はそれに対応する safety mechanism であり、PMHF の DPF 項は「対称な二重チャネルの voting failure」ではなく、「SM の潜在故障状態における IF の危険遷移」として現れます。その意味で、PFH の 2 次項と PMHF の DPF 項は数学的には類似していても、アーキテクチャ上は同一ではありません。

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エレメント（修理系）を出発点とする導出（決定論的K、PIR周期一定）

前稿で repairable element の point availability $A(t)$ と Vesely故障率 $\lambda_V(t)$ を定義したので、本稿では SMエレメントの point-unavailability $Q_\text{SM}(t)$ の具体式だけを導出します。CTMC の一般論は最小限だけ残し、行列表現は後のサブシステム導出への準備として 1 本だけ置きます。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ を考えます。任意の $t\ge0$, $s>0$ と状態 $i,j$ に対して

$$ \Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i,\ \eta_r^\text{SM}=x_r,\ r<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} \tag{1057.1} $$

が成り立つとき、$(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ は連続時間マルコフ連鎖（CTMC）です。

斉時CTMCでは、微小時間 $dt$ における遷移確率は

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} =q_{ij}dt+o(dt) \tag{1057.2} $$

で与えられます。

状態空間を有限集合 $\mathcal E={1,\dots,n}$ とし、状態確率行ベクトルを $\mathbf p^\text{SM}(t):=(p_i^\text{SM}(t))_{i\in\mathcal E}$ と書けば、生成行列 $\mathbf Q:=(q_{ij})$ を用いて

$$ \frac{d}{dt}\mathbf p^\text{SM}(t) =\mathbf p^\text{SM}(t)\mathbf Q \tag{1057.3} $$

が成り立ちます。

前稿の point availability $A_\text{SM}(t)$ を用いれば、SMエレメントの point-unavailability は

$$ Q_\text{SM}(t)=1-A_\text{SM}(t) \tag{1057.4} $$

です。

PIR周期一定を仮定し、検査周期を $\tau$、検査時刻を $\tau_k=k\tau$ とします。区間 $[\tau_k,\tau_{k+1})$ における区間内時刻を

$$ u:=t-\tau_k \qquad \bigl(t\in[\tau_k,\tau_{k+1})\bigr) \tag{1057.5} $$

と定義します。

SM故障時刻を $\sigma_\text{SM}$ とし、そのCDFを

$$ F_\text{SM}(t):=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\} \tag{1057.6} $$

と定義します。

本稿では K パラメータを確率試行ではなく、アーキテクチャ能力に由来する母集団分割割合（決定論的解釈）として扱います。SM母集団ラベルを $C_\text{SM}$ とすると、その割合は

$$ \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\} =1-K_\text{SM,DPF}, \qquad \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\} =K_\text{SM,DPF} \tag{1057.7} $$

です。

このとき、全確率の定理より

$$ \begin{eqnarray} Q_\text{SM}(t) &=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\} \\ &\quad+\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\} \\ &=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \end{eqnarray} \tag{1057.8} $$

を得ます。第1項は寿命全体で蓄積する未検出群、第2項は PIR ごとにリセットされる検出群に対応します。

指数分布を仮定する場合は

$$ F_\text{SM}(t)=1-\exp(-\lambda_\text{SM}t) \tag{1057.9} $$

であり、小確率 $\lambda_\text{SM}\tau\ll1$ の下では

$$ Q_\text{SM}(t) \approx (1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}t +K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}u \tag{1057.10} $$

となります。

ここで得た $Q_\text{SM}(t)$ は、後続のサブシステム導出において DPF 項の時間依存を担う基本量になります。

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