PFH と PMHF はどこまで同じと言えるか

前稿までで、PMHF は吸収型 VSG に対する lifetime average、PFH は repairable top event に対する平均 dangerous failure frequency として定式化しました。本稿では両者を並べ、どこで一致し、どこで分かれるかを整理します。

PFH 側の exact quantity は、dangerous failure の発生回数を数える計数過程 $N_\text{DF}(T)$ を用いて

$$ \mathrm{PFH}(0,T)=\frac{1}{T}E\{N_\text{DF}(T)\} \tag{1066.1} $$

です。

一方、同じ top event に対する first-passage quantity は、first dangerous failure time を

$$ \sigma_\text{DF}:=\inf\{t\ge0\mid N_\text{DF}(t)\ge1\} \tag{1066.2} $$

とおけば

$$ \frac{1}{T}\Pr\{\sigma_\text{DF}\le T\} =\frac{1}{T}\Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1066.3} $$

です。PMHF は、VSG を吸収集合として扱うことにより、この形の quantity に対応します。

したがって、PFH と PMHF 型 quantity の exact な差は

$$ \mathrm{PFH}(0,T)-\frac{1}{T}\Pr\{\sigma_\text{DF}\le T\} =\frac{1}{T}\sum_{n\ge2}(n-1)\Pr\{N_\text{DF}(T)=n\} \tag{1066.4} $$

となります。すなわち、差は区間 $[0,T]$ における 2 回目以降の dangerous failure の寄与そのものです。

ここで寿命区間全体に対して rare-event 近似

$$ \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge2\}\approx0 \tag{1066.5} $$

を置けば、

$$ E\{N_\text{DF}(T)\}\approx \Pr\{N_\text{DF}(T)\ge1\} \tag{1066.6} $$

となるので、1 次では PFH と PMHF 型 quantity の差は見えなくなります。

しかし、それでも closed form は一般には一致しません。その理由は、両者が同じ 1 次骨格を持ちながら、latent state のモデルと平均化区間が異なるからです。一般に、SPF 寄与を $\lambda_\text{SPF}$、latent state から top event を生じる最後の危険故障率を $\lambda_\text{last}$、latent state の point-unavailability を $Q_\text{LAT}(t)$、平均化区間を $H$ とすると、

$$ M(H)\approx \lambda_\text{SPF}+\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H Q_\text{LAT}(t)\,dt \tag{1066.7} $$

という共通骨格が得られます。

PFH 側では、proof test や修理を含む repairable latent state を $Q_\text{LAT}^\text{PFH}(t)$ と書けば

$$ \mathrm{PFH}(0,H)\approx \lambda_\text{SPF}+\frac{\lambda_\text{last}}{H}\int_0^H Q_\text{LAT}^\text{PFH}(t)\,dt \tag{1066.8} $$

です。

これに対して PMHF 側では、前稿までの結果より

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1066.9} $$

です。

したがって、rare-event 近似の下で PFH と PMHF が近づくのは事実ですが、それは exact quantity が元から同じだからではありません。同じ 1 次骨格の上で、PFH では repairable latent state を平均し、PMHF では IF-SM 構造に基づく latent state を寿命平均しているからです。すなわち、両者の結果式の違いは、frequency と probability の語の違いだけではなく、latent state をどのようにモデル化し、どの時間幅で平均化するかの違いでもあります。

なお、ここでいう IF-SM 構造は 1oo2 のような対称冗長系ではありません。IF は intended functionality、SM はそれに対応する safety mechanism であり、PMHF の DPF 項は「対称な二重チャネルの voting failure」ではなく、「SM の潜在故障状態における IF の危険遷移」として現れます。その意味で、PFH の 2 次項と PMHF の DPF 項は数学的には類似していても、アーキテクチャ上は同一ではありません。

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