PMHF の導出（小確率近似に基づく簡潔な導出）

前稿では、非冗長系の VSG 到達密度について

$$ f_\text{VSG}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1059.1} $$

を得ました。本稿では、この近似式から PMHF の最終式を導きます。以下、車両寿命を $T:=T_\text{lifetime}$ とし、簡単のため $T=n\tau$ を仮定します。

PMHF の定義より

$$ \mathrm{PMHF} =\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1059.2} $$

となります。

前稿で得た SM エレメントの point-unavailability は

$$ Q_\text{SM}(t) =(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1059.3} $$

でした。したがって

$$ \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt =\frac{1-K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(t)\,dt+\frac{K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt \tag{1059.4} $$

です。

ここで $T=n\tau$ とすると、第2項は周期ごとに同じ積分の繰り返しなので

$$ \int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\tau}^{(k+1)\tau}F_\text{SM}(t-k\tau)\,dt =n\int_0^\tau F_\text{SM}(u)\,du \tag{1059.5} $$

と変形できます。

SM 故障時間が指数分布に従い、かつ小確率条件の下では

$$ F_\text{SM}(x)=1-\exp(-\lambda_\text{SM}x)\approx \lambda_\text{SM}x \tag{1059.6} $$

と近似できます。したがって (1059.4), (1059.5) より

$$ \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \approx \frac{1-K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T \lambda_\text{SM}t\,dt+\frac{K_\text{SM,DPF}}{T}n\int_0^\tau \lambda_\text{SM}u\,du =\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1059.7} $$

となります。

これを (1059.2) に代入すると

$$ \mathrm{PMHF} \approx \lambda_\text{IF,SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1059.8} $$

です。

さらに

$$ \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}, \qquad \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1059.9} $$

を代入すると、最終的に

$$ \mathrm{PMHF} \approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1059.10} $$

を得ます。

ここで第1項は IF の residual fault に由来する SPF 項であり、第2項は SM の潜在故障確率と IF の multiple-point 側故障率の積として現れる DPF 項です。したがって、PMHF は SPF 項と DPF 項の和として理解できます。

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サブシステム（VSG吸収）とSPF/DPF密度の定式化

前稿で SMエレメントの point-unavailability $Q_\text{SM}(t)$ を得たので、本稿ではサブシステムレベルへ進み、VSG を吸収集合として到達密度 $f_\text{VSG}(t)$ を定式化します。ここでは非冗長系を仮定します。

VSG に対応するサブシステム過程を $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M_\text{sub}$、吸収集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とします。状態確率行ベクトルと生成行列を

$$ \mathbf p^\text{sub}(t) =\bigl[\mathbf p_M^\text{sub}(t)\ \mathbf p_P^\text{sub}(t)\bigr], \qquad \mathbf Q^\text{sub} =\begin{bmatrix} \mathbf Q_{MM} & \mathbf Q_{MP}\ \mathbf 0 & \mathbf 0 \end{bmatrix} \tag{1058.1} $$

と表します。前進方程式 $d\mathbf p^\text{sub}(t)/dt=\mathbf p^\text{sub}(t)\mathbf Q^\text{sub}$ より、VSG 到達確率は

$$ F_\text{VSG}(t) :=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} =\mathbf p_P^\text{sub}(t)\mathbf 1 =1-\mathbf p_M^\text{sub}(t)\mathbf 1 \tag{1058.2} $$

と書けます。

したがって、その到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t) :=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) =\mathbf p_M^\text{sub}(t)\mathbf Q_{MP}\mathbf 1 \tag{1058.3} $$

です。すなわち、$f_\text{VSG}(t)$ は稼働集合から VSG 吸収集合への総流出率です。

次に、IF に対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、その危険故障モード集合を SPF 寄与集合と DPF 寄与集合に

$$ \mathcal P_\text{IF} =\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup\mathcal P_\text{IF,DPF}, \qquad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap\mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1058.4} $$

と分割します。

この分割は、$K_\text{IF,RF}$ を母集団分割割合（決定論的解釈）として用いることに対応します。IF の危険故障率を $\lambda_\text{IF}$ とすると

$$ \lambda_\text{IF,SPF} =(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}, \qquad \lambda_\text{IF,DPF} =K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1058.5} $$

と置けます。

このとき、SPF による VSG 到達密度は

$$ f_\text{SPF}(t) =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF} \tag{1058.6} $$

です。

一方、DPF は「SM が潜在状態にあり、かつ IF が稼働集合にある」条件のもとで生じるので、前稿で得た $Q_\text{SM}(t)$ を用いて

$$ f_\text{DPF}(t) =\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.7} $$

と書けます。

希少事象近似の下では

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx 1 \tag{1058.8} $$

とみなせるので、

$$ f_\text{VSG}(t) \approx f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) \approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1058.9} $$

となります。したがって、VSG 到達密度の時間依存は DPF 項を通じて $Q_\text{SM}(t)$ により支配されます。

車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、PMHF は

$$ \mathrm{PMHF} =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1058.10} $$

で与えられます。次稿では、前稿の $Q_\text{SM}(t)$ を (1058.10) に代入し、PMHF の閉形式を導きます。

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PMHF 最終式に現れる近似の位置

前稿では PMHF の最終式を得ました。本稿では、その式がどの仮定と近似の上に立っているかを整理します。ここで、VSG 吸収、非冗長系、決定論的 $K$、PIR 周期一定はモデル仮定であり、近似ではありません。近似として本質的なのは、IF 側の希少事象近似と、SM 側の小確率近似です。

VSG 到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1060.1} $$

と定義すると、PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}F_\text{VSG}(T)=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1060.2} $$

です。

前稿の SPF 項と DPF 項の分解より、

$$ f_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,SPF}+\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1060.3} $$

となります。

ここで最初の近似は、IF 側がほとんど常に稼働集合にあるとみなす

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx 1 \tag{1060.4} $$

です。これにより

$$ f_\text{VSG}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1060.5} $$

を得ます。

一方、SM 側の point-unavailability は前稿より

$$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1060.6} $$

です。ここで $u=t-\tau_k$ は PIR 区間内時刻です。

次の近似は、SM 故障時間が指数分布に従い、かつ小確率条件の下で

$$ F_\text{SM}(x)=1-\exp(-\lambda_\text{SM}x)\approx \lambda_\text{SM}x \tag{1060.7} $$

とすることです。これにより

$$ Q_\text{SM}(t)\approx (1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}t+K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}u \tag{1060.8} $$

となります。

さらに $T=n\tau$ として寿命平均を取ると

$$ \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt\approx \frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.9} $$

です。したがって、前稿で定義した $\lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}$ および $\lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}$ を用いれば、

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.10} $$

を得ます。

重要なのは、PMHF が最初から定数なのではないということです。時間依存性は $Q_\text{SM}(t)$ の中に残っており、最終的に寿命平均を取ることで定数化されます。したがって、PMHF の最終式は、VSG 吸収というモデル仮定の上に、IF 側の希少事象近似と SM 側の小確率近似を順に加えて得られるものです。

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PMHF の確率論的意味（$T^{-1}Q(T)$ の再解釈）

前稿までで PMHF の導出を終えたので、本稿では旧表記 $T^{-1}Q(T)$ を確率論的に位置付けます。要点は、PMHF に現れる $Q(T)$ は repairable element の point-unavailability ではなく、VSG 吸収集合への到達確率である、という点です。

サブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ に対し、VSG 吸収集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とします。first VSG time を

$$ \sigma_\text{VSG}:=\inf\{t\ge0\mid \eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1061.1} $$

と定義します。

その CDF を

$$ F_\text{VSG}(t):=\Pr\{\sigma_\text{VSG}\le t\} \tag{1061.2} $$

と定義します。

VSG は吸収集合なので

$$ \{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\}=\{\sigma_\text{VSG}\le t\} \tag{1061.3} $$

が成り立ちます。したがって

$$ F_\text{VSG}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1061.4} $$

です。

到達密度は

$$ f_\text{VSG}(t):=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) \tag{1061.5} $$

であり、PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}F_\text{VSG}(T)=\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1061.6} $$

と定義されます。

ここで、サブシステムレベルの VSG 占有確率を

$$ Q_\text{sub}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\}=F_\text{VSG}(t) \tag{1061.7} $$

と書くなら、

$$ \mathrm{PMHF}(T)=\frac{1}{T}Q_\text{sub}(T) \tag{1061.8} $$

となります。したがって旧表記 $T^{-1}Q(T)$ は、$Q(t)$ をこの意味で用いる限り正しいことになります。

ただし、前々稿で用いた SMエレメントの point-unavailability は

$$ Q_\text{SM}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\}=1-A_\text{SM}(t) \tag{1061.9} $$

であり、これは repairable element の時刻 $t$ における不稼働確率です。したがって一般には

$$ Q_\text{SM}(t)\neq F_\text{VSG}(t) \tag{1061.10} $$

です。ここでの違いは、$Q_\text{SM}(t)$ が repairable element の point-unavailability であるのに対し、$F_\text{VSG}(t)$ は absorbing subsystem の first-passage CDF である、という点にあります。

要するに、旧表記 $T^{-1}Q(T)$ の正否は、$Q(t)$ が何を表すかに依存します。$Q(t)$ が VSG 吸収集合の占有確率を表すなら、それは first VSG time の CDF と一致し、PMHF は $T^{-1}Q(T)$ と書けます。いっぽう $Q(t)$ が repairable element の point-unavailability を表すなら、そのまま PMHF にはなりません。

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生成行列に基づくDPFおよびSPFの導出（非冗長）

非冗長系（LAT1およびDPF2を除外）について、区間内（修理なし）の生成行列を明示します。状態順序を $(0,1,2,3,4)$ とします。

• 0：OPR（IF up, SM up）
• 1：LAT2_U（SM潜在・点検で検出されず寿命末まで残る）
• 2：LAT2_D（SM潜在・点検で検出され周期で回復）
• 3：SPF（吸収）
• 4：DPF1（吸収）

遷移率は $$ \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\quad \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1062.1} $$ および $$ \lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\quad \lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \tag{1062.2} $$ とします。区間内生成行列 $Q$ は $$ Q=\left(\matrix{ -(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr 0 & -\lambda_\text{IF} & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & -\lambda_\text{IF} & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr }\right) \tag{1062.3} $$ です。

到達確率を $$ F(t):=\Pr\{\eta_t\in\mathcal P\},\quad \mathcal P:=\{3,4\} \tag{1062.4} $$ と定義します。全確率の定理より到達密度は $$ f(t)=\sum_{s\in\mathcal M}p_s(t)\sum_{v\in\mathcal P}q_{sv},\quad \mathcal M:=\{0,1,2\} \tag{1062.5} $$ となります。

(1062.3)より各状態から吸収集合への流出率は $$ \sum_{v\in\mathcal P}q_{0v}=\lambda_\text{IF,SPF},\quad \sum_{v\in\mathcal P}q_{1v}=\lambda_\text{IF},\quad \sum_{v\in\mathcal P}q_{2v}=\lambda_\text{IF} \tag{1062.6} $$ であるため、 $$ f(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\,p_0(t)+\lambda_\text{IF}\bigl(p_1(t)+p_2(t)\bigr) \tag{1062.7} $$ と成分展開されます。

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【1063】

DPF項の導出（Q(t)統一式による）

1062より、DPFの到達密度は $$ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\,Q_\text{SM}(t) \tag{1063.1} $$ です。

ここで $Q_\text{SM}(t)$ は、SMがレイテント状態にある確率です。PIR周期一定の下で、2020論文の結果より $$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1063.2} $$ と書けます。ここで

• $F_\text{SM}(t)=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\}$ はSM故障発生のCDF
• $u=t-\tau_k$ は区間内時刻
• $K_\text{SM,DPF}$ は点検検出カバレッジ

です。

したがって寿命 $T_\text{lifetime}$ におけるDPF到達確率は $$ \mathrm{PoF_{DPF}} =\lambda_\text{IF,DPF} \int_0^{T_\text{lifetime}} Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1063.3} $$ となります。

(1063.2)を(1063.3)に代入すると $$ \mathrm{PoF_{DPF}} =\lambda_\text{IF,DPF} \left[ (1-K_\text{SM,DPF})\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt + K_\text{SM,DPF}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)\,dt \right] \tag{1063.4} $$

第1項の評価（寿命末まで残る成分）

小確率近似の下で $$ F_\text{SM}(t)\approx \lambda_\text{SM}t \tag{1063.5} $$ ですから $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt \approx \int_0^{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{SM}t\,dt =\frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}^2}{2} \tag{1063.6} $$

第2項の評価（周期で回復する成分）

区間分割により $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du \tag{1063.7} $$ です。小確率近似より $$ F_\text{SM}(u)\approx \lambda_\text{SM}u \tag{1063.8} $$ であるから $$ \int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du \approx \int_0^{\tau}\lambda_\text{SM}u\,du =\frac{\lambda_\text{SM}\tau^2}{2} \tag{1063.9} $$ となります。

したがって $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)\,dt =\frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\tau}{2} \tag{1063.10} $$

合成

(1063.4)(1063.6)(1063.10)より $$ \mathrm{PoF_{DPF}} =\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM} \Bigl( (1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}^2 + K_\text{SM,DPF}T_\text{lifetime}\tau \Bigr) \tag{1063.11} $$

規格定義より $$ \mathrm{PMHF_{DPF}}=\frac{\mathrm{PoF_{DPF}}}{T_\text{lifetime}} \tag{1063.12} $$ であるから $$ \mathrm{PMHF_{DPF}} =\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM} \Bigl( (1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime} + K_\text{SM,DPF}\tau \Bigr) \tag{1063.13} $$

さらに $$ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1063.14} $$ を代入すれば $$ \mathrm{PMHF_{DPF}} =\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \Bigl( (1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime} + K_\text{SM,DPF}\tau \Bigr) \tag{1063.15} $$ を得ます。

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DPF項の積分完了とPMHFの合成（非冗長）

本節では、1063の区間表現に基づきDPF項の積分を完了し、最後にSPF項と合成してPMHFの最終式を得ます。

LAT2_D成分の積分（区間和）

1063の(1064.12)より $p_2^{(k)}(u)\approx \lambda_\text{SM,D}u$ ですから $$ \int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}} p_2(t)\,dt = \int_{0}^{\tau} p_2^{(k)}(u)\,du \approx \int_{0}^{\tau} \lambda_{\text{SM,D}}\,u\,du = \frac{\lambda_{\text{SM,D}}\,\tau^2}{2} \tag{1064.1} $$

となります。区間和より $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}p_2(t)\,dt=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}}p_2(t)\,dt \approx\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda_\text{SM,D}\tau^2}{2}\\ =n\frac{\lambda_\text{SM,D}\tau^2}{2}=\frac{\lambda_\text{SM,D}T_\text{lifetime}\tau}{2} \tag{1064.2} $$ を得ます。

LAT2_U成分の積分

LAT2_U（状態1）は点検で回復しないため、希少事象一次近似として $$ p_1(t)=F_\text{SM,U}(t)=1-e^{-\lambda_\text{SM,U}t}\approx\lambda_\text{SM,U}t \tag{1064.3} $$ とおけます。したがって $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}p_1(t)\,dt\approx \int_0^{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{SM,U}t\,dt=\frac{\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}^2}{2} \tag{1064.4} $$ です。

(1064.2)、(1064.4)より $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}\bigl(p_1(t)+p_2(t)\bigr)\,dt\approx \frac{1}{2}\Bigl(\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}^2+\lambda_\text{SM,D}T_\text{lifetime}\tau\Bigr) \tag{1064.5} $$ となります。

DPF項のPMHF

1063の(1064.8)より $$ \mathrm{PoF_{DPF}}\approx \lambda_\text{IF,DPF}\int_0^{T_\text{lifetime}}\bigl(p_1(t)+p_2(t)\bigr)\,dt \tag{1064.6} $$ であるから、(1064.5)(1064.6)より $$ \mathrm{PoF_{DPF}}\approx \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\Bigl(\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}^2+\lambda_\text{SM,D}T_\text{lifetime}\tau\Bigr) \tag{1064.7} $$ となります。規格定義より $$ \mathrm{PMHF_{DPF}}=\frac{\mathrm{PoF_{DPF}}}{T_\text{lifetime}}\approx \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\Bigl(\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}+\lambda_\text{SM,D}\tau\Bigr) \tag{1064.8} $$ を得ます。

ここで $$ \left\{ \begin{aligned} \lambda_\text{IF,DPF}&=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\\ \quad \lambda_\text{SM,U}&=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}\\ \quad \lambda_\text{SM,D}&=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \end{aligned} \right. \tag{1064.9} $$

より $$ \mathrm{PMHF_{DPF}}\approx \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1064.10} $$ となります。

合成

(1063.6)を用いれば、 $$ \begin{aligned} \mathrm{PMHF}&=\mathrm{PMHF_{SPF}}+\mathrm{PMHF_{DPF}}\\ &\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \end{aligned} \tag{1064.13} $$ を得ます。

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【1065】

SPF項と総PMHFの導出

1062で得たSPFの到達密度は $$ f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_0(t)+p_1(t)+p_2(t)\bigr) \tag{1065.1} $$ です。希少事象近似により、区間内で $p_0(t)+p_1(t)+p_2(t)\approx 1$ とすれば $$ f_\text{SPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF} \tag{1065.2} $$ となります。したがって寿命 $T_\text{lifetime}$ におけるSPF到達確率は $$ \mathrm{PoF_{SPF}}=\int_0^{T_\text{lifetime}} f_\text{SPF}(t)\,dt\approx \lambda_\text{IF,SPF}T_\text{lifetime} \tag{1065.3} $$ です。規格定義より $$ \mathrm{PMHF_{SPF}}:=\frac{\mathrm{PoF_{SPF}}}{T_\text{lifetime}} \tag{1065.4} $$ であるから、(1065.3)、(1065.4)、(1062.?)より $$ \mathrm{PMHF_{SPF}}\approx \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} \tag{1065.5} $$ を得ます。

非冗長系におけるPMHFはSPF項とDPF項の和として $$ \mathrm{PMHF}=\mathrm{PMHF_{SPF}}+\mathrm{PMHF_{DPF}} \tag{1065.6} $$ で与えられます。1064の(1065.8)と(1065.7)を用いれば $$ \mathrm{PMHF}\approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} +\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1065.7} $$ を得ます。

(1065.9)は、生成行列に基づく到達密度の分解と、潜在状態の総滞在時間の一次近似により導かれた非冗長系PMHFの近似式です。

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エレメント（修理系）を出発点とする導出（決定論的K、PIR周期一定）

前稿で repairable element の point availability $A(t)$ と Vesely故障率 $\lambda_V(t)$ を定義したので、本稿では SMエレメントの point-unavailability $Q_\text{SM}(t)$ の具体式だけを導出します。CTMC の一般論は最小限だけ残し、行列表現は後のサブシステム導出への準備として 1 本だけ置きます。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ を考えます。任意の $t\ge0$, $s>0$ と状態 $i,j$ に対して

$$ \Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i,\ \eta_r^\text{SM}=x_r,\ r<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} \tag{1057.1} $$

が成り立つとき、$(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ は連続時間マルコフ連鎖（CTMC）です。

斉時CTMCでは、微小時間 $dt$ における遷移確率は

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} =q_{ij}dt+o(dt) \tag{1057.2} $$

で与えられます。

状態空間を有限集合 $\mathcal E={1,\dots,n}$ とし、状態確率行ベクトルを $\mathbf p^\text{SM}(t):=(p_i^\text{SM}(t))_{i\in\mathcal E}$ と書けば、生成行列 $\mathbf Q:=(q_{ij})$ を用いて

$$ \frac{d}{dt}\mathbf p^\text{SM}(t) =\mathbf p^\text{SM}(t)\mathbf Q \tag{1057.3} $$

が成り立ちます。

前稿の point availability $A_\text{SM}(t)$ を用いれば、SMエレメントの point-unavailability は

$$ Q_\text{SM}(t)=1-A_\text{SM}(t) \tag{1057.4} $$

です。

PIR周期一定を仮定し、検査周期を $\tau$、検査時刻を $\tau_k=k\tau$ とします。区間 $[\tau_k,\tau_{k+1})$ における区間内時刻を

$$ u:=t-\tau_k \qquad \bigl(t\in[\tau_k,\tau_{k+1})\bigr) \tag{1057.5} $$

と定義します。

SM故障時刻を $\sigma_\text{SM}$ とし、そのCDFを

$$ F_\text{SM}(t):=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\} \tag{1057.6} $$

と定義します。

本稿では K パラメータを確率試行ではなく、アーキテクチャ能力に由来する母集団分割割合（決定論的解釈）として扱います。SM母集団ラベルを $C_\text{SM}$ とすると、その割合は

$$ \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\} =1-K_\text{SM,DPF}, \qquad \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\} =K_\text{SM,DPF} \tag{1057.7} $$

です。

このとき、全確率の定理より

$$ \begin{eqnarray} Q_\text{SM}(t) &=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\} \\ &\quad+\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\} \\ &=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \end{eqnarray} \tag{1057.8} $$

を得ます。第1項は寿命全体で蓄積する未検出群、第2項は PIR ごとにリセットされる検出群に対応します。

指数分布を仮定する場合は

$$ F_\text{SM}(t)=1-\exp(-\lambda_\text{SM}t) \tag{1057.9} $$

であり、小確率 $\lambda_\text{SM}\tau\ll1$ の下では

$$ Q_\text{SM}(t) \approx (1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}t +K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}u \tag{1057.10} $$

となります。

ここで得た $Q_\text{SM}(t)$ は、後続のサブシステム導出において DPF 項の時間依存を担う基本量になります。

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upやdownを数式で書いてみます。

非修理系

ランダムプロセス$\eta_s$において、確率変数$X$を無故障稼働時間とします。$\mathcal{M}$を稼働状態のサブセットとし、$\mathcal{P}$を不稼働状態のサブセットとすれば、$X=\inf\lbrace s:\eta_{s}\in\mathcal{P}\rbrace$と示すことができます。

non-repairable elementの瞬間故障率$\lambda(t)$の定義式は、

$$ \lambda(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace}{dt}\tag{1056.1} $$

であり、(1056.1)を一次展開すれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\lambda(t)dt+o(dt)\tag{1056.2} $$

となります。ここで(1056.2)に条件付き確率の公式を用いれば、

$$ \Pr\lbrace X\le t+dt\ |\ t\lt X\rbrace=\frac{\Pr\lbrace t\lt X\le t+dt\rbrace}{\Pr\lbrace t\lt X\rbrace}=\frac{f(t)}{R(t)}dt+o(dt)\tag{1056.3} $$

であることから、(1056.2)、(1056.3)の右辺の比較により、

$$ \lambda(t)=\frac{f(t)}{R(t)}\tag{1056.4} $$

修理系

repairable elementのVesely故障率$\lambda_V(t)$は、Christiane Cocozza-Thivent他の論文"The Failure Rate in Reliability. Numerical Treatment"の(1.2)式によれば、

$$\lambda_V(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\lim_{dt\downarrow 0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\}}{dt} \tag{1056.5}$$

であり、(1056.5)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid\eta_t\in\mathcal{M}\}=\lambda_V(t)dt+o(dt)\tag{1056.6} $$

となります。次に無条件瞬間ダウン強度$h(t)$の定義式は、

$$ h(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=} \lim_{dt\downarrow 0} \frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{dt} \tag{1056.7} $$

であり、(1056.7)を一次展開すれば、 $$ \Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}=h(t)dt+o(dt)\tag{1056.8} $$

となります。また、point availability$A(t)$は、

$$A(t)\stackrel{\mathrm{def}}{=}\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}\tag{1056.9}$$

で表されます。ここで(1056.6)に条件付き確率の公式を用いれば、(1056.8)及び(1056.9)より、

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\mid \eta_t\in\mathcal{M}\} =\frac{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M},\ \eta_{t+dt}\in\mathcal{P}\}}{\Pr\{\eta_t\in\mathcal{M}\}} =\frac{h(t)}{A(t)}dt+o(dt) \tag{1056.10} $$

であることから、(1056.6)、(1056.10)の右辺の比較により、

$$ \lambda_V(t)=\frac{h(t)}{A(t)}\tag{1056.11} $$

この記事の改訂版です。

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