よって、MPF detectedを考慮した場合のPMHFは、それぞれの事象は排他であることから、(1086.6)、(1087.5)、(1088.6)、(1089.5)で求められた平均PUDを全て加えることで求められます。式の(a), (b), (c), (d)は図1085.1の遷移を示します。 $$ \begin{eqnarray} \require{cancel} M_\text{PMHF}&=&\overline{q_\text{SPF(a),IFU}}+\overline{q_\text{SPF(b),IFR}}+\overline{q_\text{DPF(c),IFR}}+\overline{q_\text{DPF(d),IFR}}\\ &=&\rlap{\hspace{23em}\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(a)}(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}-\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}\\ & &\rlap{\hspace{23em}\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(b)}+\bcancel{(1-K_\text{IF,RF})\alpha}\\ & &\rlap{\hspace{23em}\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(c)}+K_\text{IF,RF}\alpha\\ & &\rlap{\hspace{23em}\img[-0.25em]{/images/left-arrow.png}(d)}+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta_\text{d}\\ &=&\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\alpha+K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\beta_\text{d}}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\\ & &+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\color{red}{(1-K_\text{IF,det})}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{IF,MPF}\tau\right], \end{eqnarray} \tag{1090.1} $$

$$ ただし、\begin{cases} \alpha:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\\ \beta_\text{d}:=\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{IF,MPF}\tau\right] \end{cases} $$

この一般式に対して場合分けを行って、

1. 非冗長系においては抑止されるフォールトは全て検出可能なので、(1090.1)において$\color{red}{K_\text{IF,det}}=1$とすれば$\beta_\text{d}$の項が消去され、 $$ \begin{eqnarray} M_\text{PMHF,NRD}&=&\bbox[#ccffff,2pt]{(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+K_\text{IF,RF}\alpha}\\ &=&(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1090.2} $$

2. 冗長系においては抑止されるフォールトは(1st SMでは)全て検出不可であり、逆に全て抑止されるため、(1090.1)において$\color{red}{K_\text{IF,det}}=0, K_\text{IF,RF}=1$とすれば、 $$ \begin{eqnarray} M_\text{PMHF,RD}&=&\bbox[#ccffff,2pt]{\alpha+\beta_\text{d}}\\ &=&\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{SM,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,MPF}\tau\right]\\ & &+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(1-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+K_\text{IF,MPF}\tau\right]\\ &=&\frac{1}{2}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\left[(2-K_\text{SM,MPF}-K_\text{IF,MPF})T_\text{lifetime}+(K_\text{SM,MPF}+K_\text{IF,MPF})\tau\right] \end{eqnarray} \tag{1090.3} $$

このように、非冗長系と冗長系に対するPMHF式が導出されます。

上記場合分け1.の非冗長系の(1090.2)は、DPF項はSM側のLF量のみで決まります。これはIFのLFが無くなり、SMのLFのみになるためです。

上記場合分け2.の冗長系においては、従来記事では$2\beta$としていましたが、正しくは$\alpha+\beta_\text{d}$です。すなわち、LAT2⇒DPF(c)ではSM側のMPF検出率$K_\text{SM,MPF}$が効き、LAT1⇒DPF(d)ではIF側のMPF検出率$K_\text{IF,MPF}$が効きます。両者を合成した$K_\text{MPF}$を用いる必要はありません。

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