以前の記事では確率の事象を記述するために $$ \Pr\{\text{IF up at }t\} \tag{1093.1} $$ 等と自然言語で記述していました。本稿からは確率論をベースにこれを集合で書くことにします。

確率空間$(\Omega, \mathcal{F}, \Pr)$を考えます。 IFのup state(動作状態)集合を$\mathcal{M}_\text{IF}$とし、$(\eta^\text{IF}_t)_{t\ge0}$を確率空間上のIFの確率過程とすれば、上記確率は、 $$ \Pr\{\eta^\text{IF}_t\in\mathcal{M}_\text{IF}\} \tag{1093.2} $$ と書けます。PMHFはVSGとなる確率の車両寿命平均であり、一度起きると再び動作することは無いと考えます。従って、

$$ M_\text{PMHF}:=\frac{1}{T}F_\text{VSG}(T) \tag{1093.3} $$ ただし、$T$は車両寿命です。ここで、最初にVSGとなる時刻を$\sigma_\text{VSG}$とすれば、それは以下で表せます。

$$ \sigma_\text{VSG}:=\inf\{t\ge0\mid N^\text{VSG}_t\ge1\} \tag{1093.4} $$ ただし、$(N^\text{VSG}_t)_{t\ge0}$はVSGの計数確率過程です。

また、反対にIFのdown state(不稼働状態)集合を$\mathcal{P}_\text{IF}$とすれば、VSGはIFUモデルの場合IFのフォールトのみで起こり、それはSPFとDPFに分解できることから、 $$ \mathcal{P}_\text{VSG}=\mathcal{P}_\text{IF,SPF}\cup\mathcal{P}_\text{IF,DPF},\ \ \mathcal{P}_\text{IF,SPF}\cap\mathcal{P}_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1093.5} $$ Christiane Cocozza-Thivent他の論文"The Failure Rate in Reliability. Numerical Treatment"の(1.2)式によれば、Vesely故障率は以下のように定義されます。

$$ \begin{cases} \lambda_\text{v,IF,SPF}(t):=\displaystyle\lim_{dt\rightarrow0}\frac{\Pr\{\eta^\text{IF}_{t+dt}\in\mathcal{P}_\text{IF,SPF}\mid\eta^\text{IF}_{t}\in\mathcal{M}_\text{IF}\}}{dt},\\ \lambda_\text{v,IF,DPF}(t):=\displaystyle\lim_{dt\rightarrow0}\frac{\Pr\{\eta^\text{IF}_{t+dt}\in\mathcal{P}_\text{IF,DPF}\mid\eta^\text{IF}_{t}\in\mathcal{M}_\text{IF}\}}{dt} \end{cases} \tag{1093.6} $$

Vesely故障率をCTMCの遷移率(定数)とし、IFの故障率をSM1のカバレージ$K_\text{SM1,RF}$で分割すれば、 $$ \begin{cases} \lambda_\text{v,IF,SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{SM1,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{v,IF,DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{SM1,RF}\lambda_\text{IF} \end{cases} \tag{1093.7} $$ となります。ただし、Kパラメータの記法は規格第2版を踏襲し、オウナ記法としています。例えば、$K_\text{SM1,RF}$はSM1が持つ、IFに対する診断カバレージと読みます。

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