エレメント（修理系）を出発点とする導出（決定論的K、PIR周期一定）

前稿で repairable element の point availability $A(t)$ と Vesely故障率 $\lambda_V(t)$ を定義したので、本稿では SMエレメントの point-unavailability $Q_\text{SM}(t)$ の具体式だけを導出します。CTMC の一般論は最小限だけ残し、行列表現は後のサブシステム導出への準備として 1 本だけ置きます。

確率空間 $(\Omega,\mathcal F,\Pr)$ 上で定義された確率過程 $(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ を考えます。任意の $t\ge0$, $s>0$ と状態 $i,j$ に対して

$$ \Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i,\ \eta_r^\text{SM}=x_r,\ r<t\} =\Pr\{\eta_{t+s}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} \tag{1057.1} $$

が成り立つとき、$(\eta_t^\text{SM})_{t\ge0}$ は連続時間マルコフ連鎖（CTMC）です。

斉時CTMCでは、微小時間 $dt$ における遷移確率は

$$ \Pr\{\eta_{t+dt}^\text{SM}=j\mid\eta_t^\text{SM}=i\} =q_{ij}dt+o(dt) \tag{1057.2} $$

で与えられます。

状態空間を有限集合 $\mathcal E={1,\dots,n}$ とし、状態確率行ベクトルを $\mathbf p^\text{SM}(t):=(p_i^\text{SM}(t))_{i\in\mathcal E}$ と書けば、生成行列 $\mathbf Q:=(q_{ij})$ を用いて

$$ \frac{d}{dt}\mathbf p^\text{SM}(t) =\mathbf p^\text{SM}(t)\mathbf Q \tag{1057.3} $$

が成り立ちます。

前稿の point availability $A_\text{SM}(t)$ を用いれば、SMエレメントの point-unavailability は

$$ Q_\text{SM}(t)=1-A_\text{SM}(t) \tag{1057.4} $$

です。

PIR周期一定を仮定し、検査周期を $\tau$、検査時刻を $\tau_k=k\tau$ とします。区間 $[\tau_k,\tau_{k+1})$ における区間内時刻を

$$ u:=t-\tau_k \qquad \bigl(t\in[\tau_k,\tau_{k+1})\bigr) \tag{1057.5} $$

と定義します。

SM故障時刻を $\sigma_\text{SM}$ とし、そのCDFを

$$ F_\text{SM}(t):=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\} \tag{1057.6} $$

と定義します。

本稿では K パラメータを確率試行ではなく、アーキテクチャ能力に由来する母集団分割割合（決定論的解釈）として扱います。SM母集団ラベルを $C_\text{SM}$ とすると、その割合は

$$ \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\} =1-K_\text{SM,DPF}, \qquad \Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\} =K_\text{SM,DPF} \tag{1057.7} $$

です。

このとき、全確率の定理より

$$ \begin{eqnarray} Q_\text{SM}(t) &=\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal U_\text{SM}\} \\ &\quad+\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\}\Pr\{C_\text{SM}=\mathcal D_\text{SM}\} \\ &=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \end{eqnarray} \tag{1057.8} $$

を得ます。第1項は寿命全体で蓄積する未検出群、第2項は PIR ごとにリセットされる検出群に対応します。

指数分布を仮定する場合は

$$ F_\text{SM}(t)=1-\exp(-\lambda_\text{SM}t) \tag{1057.9} $$

であり、小確率 $\lambda_\text{SM}\tau\ll1$ の下では

$$ Q_\text{SM}(t) \approx (1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}t +K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM}u \tag{1057.10} $$

となります。

ここで得た $Q_\text{SM}(t)$ は、後続のサブシステム導出において DPF 項の時間依存を担う基本量になります。

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