10 |
PMHF計算に関する積分公式 (5) |
引き続き、前稿の続きの計算をします。本稿では次の(360.1)及び(360.2)を求めます。 1Tlifetime∫Tlifetime0FSM(t)dt 及び 1Tlifetime∫Tlifetime0FSM(u)dt,s.t. u:=tmodτ まず、(360.1)式に、FSM(t)=1−e−λSMtを代入し、 (360.1)=1Tlifetime∫Tlifetime0(1−e−λSMt)dt=1Tlifetime[t+e−λSMtλSM]Tlifetime0=1Tlifetime(Tlifetime−0+1λSM(e−λSMTlifetime−1)) ここでλt≪1の条件でe−λtのMaclaurin展開は e−λt=1−λt+12λ2t2−O((λt)3)であるから、O((λt)3)≈0と近似し、これを(360.3)に代入すると(360.3)は、 (360.3)≈1Tlifetime(Tlifetime+1λSM(−λSMTlifetime+12λ2SMT2lifetime))=1−1+12λSMTlifetime=12λSMTlifetime 以上から次のように(360.1)の値が求められました。
1Tlifetime∫Tlifetime0FSM(t)dt≈12λSMTlifetime 次に(360.2)は、 (360.2)=1Tlifetimen−1∑i=0∫(i+1)τiτ(1−e−λSMu)du=nTlifetime∫τ0(1−e−λSMu)du=n1Tlifetimeτ[u−+e−λSMu−λSM]τ0=1τ(τ−0+1λSM(e−λSMτ−1)) ここで同様に、e−λt≈1−λt+12λ2t2を用いて、 (360.8)=1τ(τ+1λSM(−λSMτ+12λ2SMτ2))=1−1+12λSMτ=12λSMτ 以上から次のように(360.2)の値が求められました。 1Tlifetime∫Tlifetime0FSM(u)dt≈12λSMτ,s.t. u:=tmodτ