PoF と PMHF の定義および最終式の導出

前稿で VSG 到達密度の近似式 (1058.13) を得たので、本稿では PoF と PMHF の定義から PMHF の最終式を導きます。以下、車両寿命を $T:=T_\text{lifetime}$ とし、$T=n\tau$ を仮定します。

まず、車両寿命 $T$ までに VSG が発生する確率を $\mathrm{PoF}_\text{VSG}(T)$ と書くと、PMHF は

$$ \mathrm{PMHF}(T) =\frac{1}{T}\mathrm{PoF}_\text{VSG}(T) =\frac{1}{T}F_\text{VSG}(T) =\frac{1}{T}\int_0^T f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1059.1} $$

です。

ここで前稿の (1058.13) を (1059.1) に代入すると

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{\lambda_\text{IF,DPF}}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1059.2} $$

となります。

さらに前々稿の (1057.8) を用いると

$$ \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt =\frac{1-K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(t)\,dt+\frac{K_\text{SM,DPF}}{T}\int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt \tag{1059.3} $$

です。

ここで $T=n\tau$ なので、第2項は周期ごとに同じ積分の繰返しとなり、

$$ \int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{k\tau}^{(k+1)\tau}F_\text{SM}(t-k\tau)\,dt =n\int_0^\tau F_\text{SM}(u)\,du \tag{1059.4} $$

と変形できます。

また、前々稿の (1057.9) を用いると、第1項は

$$ \frac{1}{T}\int_0^T F_\text{SM}(t)\,dt \approx\frac{1}{T}\int_0^T \lambda_\text{SM}t\,dt =\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}T \tag{1059.5} $$

となります。

同様に、第2項は

$$ \frac{1}{T}\int_0^T F_\text{SM}(u)\,dt \approx\frac{1}{T}n\int_0^\tau \lambda_\text{SM}u\,du =\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\tau \tag{1059.6} $$

となります。

したがって (1059.3) は

$$ \frac{1}{T}\int_0^T Q_\text{SM}(t)\,dt \approx\frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.7} $$

となるので、これを (1059.2) に代入すると

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.8} $$

です。

最後に、前稿の (1058.5) を用いると

$$ \mathrm{PMHF}(T)\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\bigl((1-K_\text{SM,DPF})T+K_\text{SM,DPF}\tau\bigr) \tag{1059.9} $$

を得ます。

ここで第1項は IF の残留故障に由来する SPF 項であり、第2項は SM の潜在故障確率と IF の多重点故障側故障率の積として現れる DPF 項です。したがって、PMHF は SPF 項と DPF 項の和として理解できます。

前のブログ 次のブログ