サブシステム（VSG吸収）とSPF/DPF密度の定式化

VSGに対応するサブシステム過程を $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ とし、吸収集合を $\mathcal P_\text{VSG}$ とします。到達確率を

$$ F_\text{VSG}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}\in\mathcal P_\text{VSG}\} \tag{1058.1} $$ と定義し、区間内で微分可能なとき到達密度を

$$ f_\text{VSG}(t):=\frac{d}{dt}F_\text{VSG}(t) \tag{1058.2} $$ と定義します。

次に、IFに対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$ とします。稼働集合からの条件付き遷移率（Vesely故障率）を

$$ \lambda_\text{IF,SPF}(t):=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,SPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1058.3} $$ および

$$ \lambda_\text{IF,DPF}(t):=\lim_{dt\to0}\frac{\Pr\{\eta_{t+dt}^\text{IF}\in\mathcal P_\text{IF,DPF}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}}{dt} \tag{1058.4} $$ と定義します。

このとき、SPFの到達密度は $$ f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,SPF}(t) \tag{1058.5} $$ と書けます。

また、DPFは「SMが潜在状態にあり、かつIFが稼働集合にある」条件のもとで生じるため、SM潜在確率 $Q_\text{SM}(t)$ を用いて $$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,DPF}(t)\,Q_\text{SM}(t) \tag{1058.6} $$ と書けます。

希少事象近似の下では $\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx 1$ とみなせるため、 $$ f_\text{SPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}(t),\qquad f_\text{DPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,DPF}(t)\,Q_\text{SM}(t) \tag{1058.7} $$ と簡約できます。

非冗長系では $$ f_\text{VSG}(t)\approx f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t) \tag{1058.8} $$ となります。

車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、規格定義より $$ \mathrm{PMHF}=\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1058.9} $$ です。 以下では、(1058)の $\mathcal P_\text{IF,SPF}$ および $\mathcal P_\text{IF,DPF}$ を明確に定義します。

IFに対応する確率過程を $(\eta_t^\text{IF})_{t\ge0}$ とし、稼働集合を $\mathcal M_\text{IF}$ とします。さらに、IFの故障モードを次の2つの互いに素な集合に分割します。

• 未検出危険故障モード集合（SPFに寄与） $\mathcal P_\text{IF,SPF}$
• 検出危険故障モード集合（DPFに寄与） $\mathcal P_\text{IF,DPF}$

すなわち $$ \mathcal P_\text{IF}:=\mathcal P_\text{IF,SPF}\cup \mathcal P_\text{IF,DPF},\quad \mathcal P_\text{IF,SPF}\cap \mathcal P_\text{IF,DPF}=\varnothing \tag{1058.10} $$ と定義します。

この分割は $K_\text{IF,RF}$ を母集団分割割合（決定論的解釈）として用いることに対応します。すなわち、IFの危険故障率を $\lambda_\text{IF}$ とすると $$ \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\quad \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1058.11} $$ と置けます。

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PMHFの導出とPIR区間分割（周期一定の仮定）

車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とします。VSG到達確率は $$ \mathrm{PoF}:=\Pr\{\eta_{T_\text{lifetime}}\in\mathcal P\}=F(T_\text{lifetime}) \tag{1060.1} $$ です。ここで規格定義より $$ \mathrm{PMHF} =\frac{\mathrm{PoF}}{T_\text{lifetime}} =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} f(t)\,dt \tag{1060.2} $$ となります。PIRにより検査時刻を $0=\tau_0<\tau_1<\cdots<\tau_n=T_\text{lifetime}$ とすると、 $$ \int_0^{T_\text{lifetime}} f(t)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}} f(t)\,dt \tag{1060.3} $$ と区間分割できます。ここで規格の規定から検査周期が一定であると仮定し、ある定数 $T_\text{service}>0$ により $$ \tau_k=kT_\text{service}\quad(k=0,1,\ldots,n),\qquad T_\text{lifetime}=nT_\text{service} \tag{1060.4} $$ と置きます。このとき(1060.3)は $$ \int_0^{T_\text{lifetime}} f(t)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_{kT_\text{service}}^{(k+1)T_\text{service}} f(t)\,dt \tag{1060.5} $$ となり、区間内時刻 $u:=t-kT_\text{service}$ を用いた近似計算により、各区間積分を閉形式で評価できます。

Vesely起点によるf_\text{VSG}(t)の構成とPMHF導出

非冗長系において、DPFは「SMが潜在状態にあり、かつIFが稼働集合にある」条件のもとでIFが危険故障へ遷移する事象です。したがってDPFの到達密度は $$ f_\text{DPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,DPF}\,Q_\text{SM}(t) \tag{1060.1} $$ と書けます。

同様にSPFは $$ f_\text{SPF}(t)=\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\,\lambda_\text{IF,SPF} \tag{1060.2} $$ です。

希少事象近似の下では $\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx 1$ であるため $$ f_\text{DPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t),\qquad f_\text{SPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF} \tag{1060.3} $$ となります。

したがってVSG到達密度は $$ f_\text{VSG}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1060.4} $$ です。

車両寿命を $T_\text{lifetime}$ とすると、VSG到達確率は $$ \mathrm{PoF}:=\Pr\{\eta_{T_\text{lifetime}}\in\mathcal P\}=F_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) \tag{1060.5} $$ です。ここで規格定義より $$ \mathrm{PMHF} =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\mathrm{PoF} =\frac{1}{T_\text{lifetime}}F_\text{VSG}(T_\text{lifetime}) =\frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}} f_\text{VSG}(t)\,dt \tag{1060.6} $$ となります。

(1060.4)を(1060.5)へ代入すると $$ \mathrm{PMHF}\approx \lambda_\text{IF,SPF} + \lambda_\text{IF,DPF}\frac{1}{T_\text{lifetime}} \int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1060.6} $$ を得ます。

1059の(1060.5)より $$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1060.7} $$ であるため $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)\,dt =(1-K_\text{SM,DPF})\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt + K_\text{SM,DPF}\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du \tag{1060.8} $$ となります。

小確率近似 $F_\text{SM}(t)\approx \lambda_\text{SM}t$ を用いれば $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt\approx \frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}^2}{2},\quad \int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du\approx \frac{\lambda_\text{SM}\tau^2}{2} \tag{1060.9} $$ です。

したがって $$ \frac{1}{T_\text{lifetime}}\int_0^{T_\text{lifetime}}Q_\text{SM}(t)\,dt \approx \frac{1}{2}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.10} $$ となります。

(1060.6)(1060.10)より $$ \mathrm{PMHF}\approx \lambda_\text{IF,SPF} + \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM} \Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.11} $$ を得ます。

さらに $$ \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\quad \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1060.12} $$ を代入すれば $$ \mathrm{PMHF}\approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} + \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1060.13} $$ となります。

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近似計算による積分評価

PIRにより区間内では修理が起きないため、各区間は独立に評価できます。検査周期を一定とし、区間を $[kT_\text{service},(k+1)T_\text{service}]$ とします。区間内時刻を $u:=t-kT_\text{service}$ とおきます。

1059の結果より $$ \int_{kT_\text{service}}^{(k+1)T_\text{service}} f(t)\,dt =\int_0^{T_\text{service}} f_k(u)\,du \tag{1061.1} $$ です。区間内では到達密度は $$ f_k(u)=R(\tau_k+u)\lambda_v^{(k)}(u) \tag{1061.2} $$ と書けます。VSGはまれ事象であるため、区間内では稼働確率はほぼ1と近似でき、 $$ R(\tau_k+u)\approx 1 \tag{1061.3} $$ と置きます。すると $$ f_k(u)\approx \lambda_v^{(k)}(u) \tag{1061.4} $$ となります。

危険遷移の種類を $\mathcal J$ とし、区間kにおける中間状態集合 $D_j$ に対して $$ P_j^{(k)}(u):=\Pr\{\eta_{\tau_k+u}\in D_j\} \tag{1061.5} $$ と定義すれば、 $$ \lambda_v^{(k)}(u)=\sum_{j\in\mathcal J}\lambda_j P_j^{(k)}(u) \tag{1061.6} $$ となるため、 $$ \int_{kT_\text{service}}^{(k+1)T_\text{service}} f(t)\,dt \approx \sum_{j\in\mathcal J}\lambda_j\int_0^{T_\text{service}} P_j^{(k)}(u)\,du \tag{1061.7} $$ となります。

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生成行列に基づくDPFおよびSPFの導出（非冗長）

非冗長系（LAT1およびDPF2を除外）について、区間内（修理なし）の生成行列を明示します。状態順序を $(0,1,2,3,4)$ とします。

• 0：OPR（IF up, SM up）
• 1：LAT2_U（SM潜在・点検で検出されず寿命末まで残る）
• 2：LAT2_D（SM潜在・点検で検出され周期で回復）
• 3：SPF（吸収）
• 4：DPF1（吸収）

遷移率は $$ \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\quad \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1062.1} $$ および $$ \lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\quad \lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \tag{1062.2} $$ とします。区間内生成行列 $Q$ は $$ Q=\left(\matrix{ -(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr 0 & -\lambda_\text{IF} & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & -\lambda_\text{IF} & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr }\right) \tag{1062.3} $$ です。

到達確率を $$ F(t):=\Pr\{\eta_t\in\mathcal P\},\quad \mathcal P:=\{3,4\} \tag{1062.4} $$ と定義します。全確率の定理より到達密度は $$ f(t)=\sum_{s\in\mathcal M}p_s(t)\sum_{v\in\mathcal P}q_{sv},\quad \mathcal M:=\{0,1,2\} \tag{1062.5} $$ となります。

(1062.3)より各状態から吸収集合への流出率は $$ \sum_{v\in\mathcal P}q_{0v}=\lambda_\text{IF,SPF},\quad \sum_{v\in\mathcal P}q_{1v}=\lambda_\text{IF},\quad \sum_{v\in\mathcal P}q_{2v}=\lambda_\text{IF} \tag{1062.6} $$ であるため、 $$ f(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\,p_0(t)+\lambda_\text{IF}\bigl(p_1(t)+p_2(t)\bigr) \tag{1062.7} $$ と成分展開されます。

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【1063】

DPF項の導出（Q(t)統一式による）

1062より、DPFの到達密度は $$ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\,Q_\text{SM}(t) \tag{1063.1} $$ です。

ここで $Q_\text{SM}(t)$ は、SMがレイテント状態にある確率です。PIR周期一定の下で、2020論文の結果より $$ Q_\text{SM}(t)=(1-K_\text{SM,DPF})F_\text{SM}(t)+K_\text{SM,DPF}F_\text{SM}(u) \tag{1063.2} $$ と書けます。ここで

• $F_\text{SM}(t)=\Pr\{\sigma_\text{SM}\le t\}$ はSM故障発生のCDF
• $u=t-\tau_k$ は区間内時刻
• $K_\text{SM,DPF}$ は点検検出カバレッジ

です。

したがって寿命 $T_\text{lifetime}$ におけるDPF到達確率は $$ \mathrm{PoF_{DPF}} =\lambda_\text{IF,DPF} \int_0^{T_\text{lifetime}} Q_\text{SM}(t)\,dt \tag{1063.3} $$ となります。

(1063.2)を(1063.3)に代入すると $$ \mathrm{PoF_{DPF}} =\lambda_\text{IF,DPF} \left[ (1-K_\text{SM,DPF})\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt + K_\text{SM,DPF}\int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)\,dt \right] \tag{1063.4} $$

第1項の評価（寿命末まで残る成分）

小確率近似の下で $$ F_\text{SM}(t)\approx \lambda_\text{SM}t \tag{1063.5} $$ ですから $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(t)\,dt \approx \int_0^{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{SM}t\,dt =\frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}^2}{2} \tag{1063.6} $$

第2項の評価（周期で回復する成分）

区間分割により $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)\,dt =\sum_{k=0}^{n-1}\int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du \tag{1063.7} $$ です。小確率近似より $$ F_\text{SM}(u)\approx \lambda_\text{SM}u \tag{1063.8} $$ であるから $$ \int_0^{\tau}F_\text{SM}(u)\,du \approx \int_0^{\tau}\lambda_\text{SM}u\,du =\frac{\lambda_\text{SM}\tau^2}{2} \tag{1063.9} $$ となります。

したがって $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}F_\text{SM}(u)\,dt =\frac{\lambda_\text{SM}T_\text{lifetime}\tau}{2} \tag{1063.10} $$

合成

(1063.4)(1063.6)(1063.10)より $$ \mathrm{PoF_{DPF}} =\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM} \Bigl( (1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}^2 + K_\text{SM,DPF}T_\text{lifetime}\tau \Bigr) \tag{1063.11} $$

規格定義より $$ \mathrm{PMHF_{DPF}}=\frac{\mathrm{PoF_{DPF}}}{T_\text{lifetime}} \tag{1063.12} $$ であるから $$ \mathrm{PMHF_{DPF}} =\frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\lambda_\text{SM} \Bigl( (1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime} + K_\text{SM,DPF}\tau \Bigr) \tag{1063.13} $$

さらに $$ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF} \tag{1063.14} $$ を代入すれば $$ \mathrm{PMHF_{DPF}} =\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM} \Bigl( (1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime} + K_\text{SM,DPF}\tau \Bigr) \tag{1063.15} $$ を得ます。

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DPF項の積分完了とPMHFの合成（非冗長）

本節では、1063の区間表現に基づきDPF項の積分を完了し、最後にSPF項と合成してPMHFの最終式を得ます。

LAT2_D成分の積分（区間和）

1063の(1064.12)より $p_2^{(k)}(u)\approx \lambda_\text{SM,D}u$ ですから $$ \int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}} p_2(t)\,dt = \int_{0}^{\tau} p_2^{(k)}(u)\,du \approx \int_{0}^{\tau} \lambda_{\text{SM,D}}\,u\,du = \frac{\lambda_{\text{SM,D}}\,\tau^2}{2} \tag{1064.1} $$

となります。区間和より $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}p_2(t)\,dt=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{\tau_k}^{\tau_{k+1}}p_2(t)\,dt \approx\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\lambda_\text{SM,D}\tau^2}{2}\\ =n\frac{\lambda_\text{SM,D}\tau^2}{2}=\frac{\lambda_\text{SM,D}T_\text{lifetime}\tau}{2} \tag{1064.2} $$ を得ます。

LAT2_U成分の積分

LAT2_U（状態1）は点検で回復しないため、希少事象一次近似として $$ p_1(t)=F_\text{SM,U}(t)=1-e^{-\lambda_\text{SM,U}t}\approx\lambda_\text{SM,U}t \tag{1064.3} $$ とおけます。したがって $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}p_1(t)\,dt\approx \int_0^{T_\text{lifetime}}\lambda_\text{SM,U}t\,dt=\frac{\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}^2}{2} \tag{1064.4} $$ です。

(1064.2)、(1064.4)より $$ \int_0^{T_\text{lifetime}}\bigl(p_1(t)+p_2(t)\bigr)\,dt\approx \frac{1}{2}\Bigl(\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}^2+\lambda_\text{SM,D}T_\text{lifetime}\tau\Bigr) \tag{1064.5} $$ となります。

DPF項のPMHF

1063の(1064.8)より $$ \mathrm{PoF_{DPF}}\approx \lambda_\text{IF,DPF}\int_0^{T_\text{lifetime}}\bigl(p_1(t)+p_2(t)\bigr)\,dt \tag{1064.6} $$ であるから、(1064.5)(1064.6)より $$ \mathrm{PoF_{DPF}}\approx \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\Bigl(\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}^2+\lambda_\text{SM,D}T_\text{lifetime}\tau\Bigr) \tag{1064.7} $$ となります。規格定義より $$ \mathrm{PMHF_{DPF}}=\frac{\mathrm{PoF_{DPF}}}{T_\text{lifetime}}\approx \frac{1}{2}\lambda_\text{IF,DPF}\Bigl(\lambda_\text{SM,U}T_\text{lifetime}+\lambda_\text{SM,D}\tau\Bigr) \tag{1064.8} $$ を得ます。

ここで $$ \left\{ \begin{aligned} \lambda_\text{IF,DPF}&=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\\ \quad \lambda_\text{SM,U}&=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM}\\ \quad \lambda_\text{SM,D}&=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \end{aligned} \right. \tag{1064.9} $$

より $$ \mathrm{PMHF_{DPF}}\approx \frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1064.10} $$ となります。

合成

(1063.6)を用いれば、 $$ \begin{aligned} \mathrm{PMHF}&=\mathrm{PMHF_{SPF}}+\mathrm{PMHF_{DPF}}\\ &\approx(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF}+\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \end{aligned} \tag{1064.13} $$ を得ます。

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【1065】

SPF項と総PMHFの導出

1062で得たSPFの到達密度は $$ f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_0(t)+p_1(t)+p_2(t)\bigr) \tag{1065.1} $$ です。希少事象近似により、区間内で $p_0(t)+p_1(t)+p_2(t)\approx 1$ とすれば $$ f_\text{SPF}(t)\approx \lambda_\text{IF,SPF} \tag{1065.2} $$ となります。したがって寿命 $T_\text{lifetime}$ におけるSPF到達確率は $$ \mathrm{PoF_{SPF}}=\int_0^{T_\text{lifetime}} f_\text{SPF}(t)\,dt\approx \lambda_\text{IF,SPF}T_\text{lifetime} \tag{1065.3} $$ です。規格定義より $$ \mathrm{PMHF_{SPF}}:=\frac{\mathrm{PoF_{SPF}}}{T_\text{lifetime}} \tag{1065.4} $$ であるから、(1065.3)、(1065.4)、(1062.?)より $$ \mathrm{PMHF_{SPF}}\approx \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} \tag{1065.5} $$ を得ます。

非冗長系におけるPMHFはSPF項とDPF項の和として $$ \mathrm{PMHF}=\mathrm{PMHF_{SPF}}+\mathrm{PMHF_{DPF}} \tag{1065.6} $$ で与えられます。1064の(1065.8)と(1065.7)を用いれば $$ \mathrm{PMHF}\approx (1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF} +\frac{1}{2}K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF}\lambda_\text{SM}\Bigl((1-K_\text{SM,DPF})T_\text{lifetime}+K_\text{SM,DPF}\tau\Bigr) \tag{1065.7} $$ を得ます。

(1065.9)は、生成行列に基づく到達密度の分解と、潜在状態の総滞在時間の一次近似により導かれた非冗長系PMHFの近似式です。

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