ISO 26262のPMHFの導出の場合、微小確率の積分を実行する際に次の(60.1)及び(60.2)式が出てくるため、あらかじめ結果を導出しておき、後程積分公式として使用します。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t) f_{M}(t)dt\tag{60.1}$$ 及び $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(u) f_{M}(t)dt,\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{60.2}$$ まず、(60.1)式に、$F_{SM}(t)=1-e^{-\lambda_{SM}t}$及び、$f_{M}(t)=\lambda_M e^{-\lambda_M t}$を代入し、 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t)f_{M}(t)dt=\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}(1-e^{-\lambda_{SM}t})\lambda_{M}e^{-\lambda_{M}t}dt\\ =\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}e^{-\lambda_{M}t}dt-\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}e^{-(\lambda_{SM}+\lambda_M)t}dt\tag{60.3}$$ (60.3)の右辺第1項は、 $$\require{cancel} \text{1st term of RHS of (60.3)}=\frac{\bcancel{\lambda_{M}}}{T_{lifetime}}\left[\frac{e^{-\lambda_{M}t}}{-\bcancel{\lambda_{M}}}\right]^{T_{lifetime}}_0=\frac{1}{T_{lifetime}}(1-e^{-\lambda_{M}T_{lifetime}})\tag{60.4}$$ (60.3)の右辺第2項は、 $$\text{2nd term of RHS of (60.3)}=-\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\left[\frac{e^{-(\lambda_{SM}+\lambda_{M})t}}{-(\lambda_{SM}+\lambda_{M})}\right]^{T_{lifetime}}_0\\ =-\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}(\lambda_{SM}+\lambda_{M})}\left[1-e^{-(\lambda_{SM}+\lambda_{M})T_{lifetime}}\right]\tag{60.5}$$ ここで$\lambda t\ll 1$の条件で$e^{-\lambda t}$のMaclaurin展開は $$e^{-\lambda t}=1-\lambda t + \frac{1}{2}\lambda^2 t^2-O((\lambda t)^3)$$ となるため、$O((\lambda t)^3)\approx 0$と近似し、これを(60.4)及び(60.5)に代入すると(60.3)は、 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(t) f_{M}(t)dt \approx\frac{1}{\bcancel{T_{lifetime}}}(\lambda_{M}\bcancel{T_{lifetime}}-\frac{1}{2}{\lambda_{M}}^2{T_{lifetime}}^\bcancel{2})\\ -\frac{\lambda_{M}}{\bcancel{T_{lifetime}}\bcancel{(\lambda_{SM}+\lambda_{M})}} \left[\bcancel{(\lambda_{SM}+\lambda_{M})}\bcancel{T_{lifetime}} -\frac{1}{2}(\lambda_{SM}+\lambda_{M})^\bcancel{2}{T_{lifetime}}^\bcancel{2}\right]\\ =(\bcancel{\lambda_{M}}-\bcancel{\frac{1}{2}{\lambda_{M}}^2T_{lifetime}}) -\lambda_{M}\left[\bcancel{1}-\frac{1}{2}(\lambda_{SM}+\bcancel{\lambda_M})T_{lifetime}\right] =\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}T_{lifetime}\tag{60.6}$$ 以上から(60.1)の値が求められました。

結果のMとSMに関する対称性から推測可能なように、(60.6)においてMとSMを入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{M}(t) f_{SM}(t)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}T_{lifetime}\tag{60.7}$$ 次に(60.2)式はやや複雑になりますが、基本的には同様な計算を行います。まず、$u:=t\bmod\tau$であることから、$t=i\tau+u, i=0, 1, 2, ..., n-1, T_{lifetime}=n\tau$とおき、$t$を$i$と$u$で表せば、 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(u)f_{M}(t)dt =\frac{1}{T_{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1} \int_0^{\tau} (1-e^{-\lambda_{SM}u})\lambda_{M}e^{-\lambda_{M}(i\tau+u)}du\\ =\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_{M}i\tau}\int_0^{\tau}e^{-\lambda_{M}u}du -\frac{\lambda_{M}}{T_{lifetime}}\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_{M}i\tau}\int_0^{\tau}e^{-(\lambda_{SM}+\lambda_M)u}du\tag{60.8}$$ ここで、$\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_{M}i\tau}$を計算すると、等比数列の和及びMaclaurin展開の1次近似より、 $$\sum_{i=0}^{n-1}e^{-\lambda_{M}i\tau} =\frac{1-e^{-\lambda_{M}T_{lifetime}}}{1-e^{-\lambda_{M}\tau}} \approx\frac{\bcancel{\lambda_{M}}T_{lifetime}}{\bcancel{\lambda_{M}}\tau} =\frac{T_{lifetime}}{\tau}$$ よって、(60.8)の右辺第1項は、 $$\text{1st term of RHS of (60.8)}=\frac{\bcancel{\lambda_{M}}}{\bcancel{T_{lifetime}}}\frac{\bcancel{T_{lifetime}}}{\tau}\left[\frac{e^{-\lambda_{M}t}}{-\bcancel{\lambda_{M}}}\right]^{\tau}_0 =\frac{1}{\tau}(1-e^{-\lambda_{M}\tau})\tag{60.9}$$ (60.8)の右辺第2項は、 $$\text{2nd term of RHS of (60.8)}=-\frac{\lambda_{M}}{\bcancel{T_{lifetime}}}\frac{\bcancel{T_{lifetime}}}{\tau}\left[\frac{e^{-(\lambda_{SM}+\lambda_{M})t}}{-(\lambda_{SM}+\lambda_{M})}\right]^{\tau}_0\\ =-\frac{\lambda_{M}}{\tau(\lambda_{SM}+\lambda_{M})}\left[1-e^{-(\lambda_{SM}+\lambda_{M})\tau}\right]\tag{60.10}$$ 同様にMaclaurin展開の2次近似を(60.9)と(60.10)に用いると、(60.8)は、 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{SM}(u) f_{M}(t)dt \approx\frac{1}{\bcancel{\tau}}(\lambda_M\bcancel{\tau}-\frac{1}{2}\lambda_M^2\tau^\bcancel{2})\\ -\frac{\lambda_{M}}{\bcancel{\tau(\lambda_{SM}+\lambda_{M}})} \left[\bcancel{(\lambda_{SM}+\lambda_{M})\tau} -\frac{1}{2}(\lambda_{SM}+\lambda_{M})^\bcancel{2}\tau^\bcancel{2}\right]\\ =(\bcancel{\lambda_{M}}-\bcancel{\frac{1}{2}{\lambda_{M}}^2\tau}) -\lambda_{M}\left[\bcancel{1}-\frac{1}{2}(\lambda_{SM}+\bcancel{\lambda_M})\tau\right] =\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}\tau\tag{60.11}$$ 以上から(60.2)の値が求められました。

これも結果のMとSMに関する対称性から推測可能なように、(60.11)においてMとSMを入れ替えた次の式も同じ値となります。 $$\frac{1}{T_{lifetime}}\int_0^{T_{lifetime}}F_{M}(t) f_{SM}(u)dt\approx\frac{1}{2}\lambda_{M}\lambda_{SM}\tau\ \ s.t.\ \ u:=t\bmod\tau\tag{60.12}$$

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