生成行列に基づく SPF/DPF の導出

前稿までで、$Q_\text{SM}(t)$ を用いた VSG 到達密度の導出を終えました。本稿では、同じ結果が生成行列からも得られることを示します。ここでは状態を数値ではなく意味を持つ記号で表します。

区間内（PIR による回復を含まない時間区間）では、サブシステム過程 $(\eta_t^\text{sub})_{t\ge0}$ の状態順序を

$$ \mathcal S=\bigl(\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D,\mathrm{ABS}_\text{SPF},\mathrm{ABS}_\text{DPF}\bigr) \tag{1060.1} $$

とします。ここで $\mathrm{OPR}$ は通常稼働状態、$\mathrm{LAT}_U$ は未検出の潜在状態、$\mathrm{LAT}_D$ は検出対象の潜在状態、$\mathrm{ABS}_\text{SPF}$ と $\mathrm{ABS}_\text{DPF}$ はそれぞれ SPF と DPF に対応する吸収状態です。

IF 側および SM 側の率分解を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{IF,SPF}=(1-K_\text{IF,RF})\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF,DPF}=K_\text{IF,RF}\lambda_\text{IF},\\ \lambda_\text{IF}=\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.2} $$

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \lambda_\text{SM,U}=(1-K_\text{SM,DPF})\lambda_\text{SM},\\ \lambda_\text{SM,D}=K_\text{SM,DPF}\lambda_\text{SM} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.3} $$

とします。

各状態の確率を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} p_\text{OPR}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}=\mathrm{OPR}\},\\ p_{\mathrm{LAT}_U}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}=\mathrm{LAT}_U\},\\ p_{\mathrm{LAT}_D}(t):=\Pr\{\eta_t^\text{sub}=\mathrm{LAT}_D\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.4} $$

と書きます。

この順序に対応する区間内生成行列 $Q$ は

$$ Q=\left(\matrix{ -(\lambda_\text{SM,U}+\lambda_\text{SM,D}+\lambda_\text{IF,SPF}) & \lambda_\text{SM,U} & \lambda_\text{SM,D} & \lambda_\text{IF,SPF} & 0 \cr 0 & -\lambda_\text{IF} & 0 & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & -\lambda_\text{IF} & \lambda_\text{IF,SPF} & \lambda_\text{IF,DPF} \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }\right) \tag{1060.5} $$

です。

稼働集合と吸収集合を

$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \mathcal M:=\{\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D\},\\ \mathcal P_\text{SPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{SPF}\},\\ \mathcal P_\text{DPF}:=\{\mathrm{ABS}_\text{DPF}\} \end{array} \right. \end{eqnarray} \tag{1060.6} $$

とします。このとき、一般に吸収集合 $\mathcal P_X$ への到達密度は

$$ f_X(t)=\sum_{s\in\mathcal M}p_s(t)\sum_{v\in\mathcal P_X}q_{sv}, \qquad X=\text{SPF},\text{DPF},\text{VSG} \tag{1060.7} $$

で与えられます。

まず SPF 吸収状態への流出率は、$\mathrm{OPR},\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D$ のいずれからも $\lambda_\text{IF,SPF}$ なので

$$ f_\text{SPF}(t)=\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \tag{1060.8} $$

です。

次に DPF 吸収状態への流出率は、$\mathrm{LAT}_U,\mathrm{LAT}_D$ からのみ $\lambda_\text{IF,DPF}$ なので

$$ f_\text{DPF}(t)=\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \tag{1060.9} $$

となります。

したがって VSG 到達密度は

$$ \begin{eqnarray} f_\text{VSG}(t)&=&f_\text{SPF}(t)+f_\text{DPF}(t)\\ &=&\lambda_\text{IF,SPF}\bigl(p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr)+\lambda_\text{IF,DPF}\bigl(p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\bigr) \end{eqnarray} \tag{1060.10} $$

です。

ここで希少事象近似の下では

$$ p_\text{OPR}(t)+p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t) =1-F_\text{VSG}(t)\approx1 \tag{1060.11} $$

です。また、

$$ \begin{eqnarray} p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t) &=&\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\cap\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\\ &=&\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} \end{eqnarray} \tag{1060.12} $$

です。さらに IF 側の小確率近似より

$$ \Pr\{\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\} =R_\text{IF}(t) =e^{-\lambda_\text{IF}t} \approx1-\lambda_\text{IF}t \approx1 \tag{1060.13} $$

であり、また高次項を無視すれば

$$ \Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\mid\eta_t^\text{IF}\in\mathcal M_\text{IF}\}\approx\Pr\{\eta_t^\text{SM}\in\mathcal P_\text{SM}\}=Q_\text{SM}(t) \tag{1060.14} $$

なので

$$ p_{\mathrm{LAT}_U}(t)+p_{\mathrm{LAT}_D}(t)\approx Q_\text{SM}(t) \tag{1060.15} $$

と近似できます。したがって

$$ f_\text{VSG}(t)\approx\lambda_\text{IF,SPF}+\lambda_\text{IF,DPF}Q_\text{SM}(t) \tag{1060.16} $$

を得ます。これは前稿までの導出と一致します。したがって、PMHF の SPF 項および DPF 項は、生成行列に基づく CTMC からも同じ形で導かれます。

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